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Transformada de Laplace 1-IV

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Tópicos: Teorema do Deslocamento | Teorema da Convolução |


1) Teorema do Deslocamento

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Considera-se a definição da Transformada de Laplace:

$$\mathcal L \lbrace f(t) \rbrace = F(s) = \int_0^\infty \mathrm e^{-st} f(t) dt \tag{1A}$$
A transformada de  e−λt f(t) é dada por:

$$\mathcal L \lbrace \mathrm e^{-\lambda t} f(t) \rbrace = \int_0^\infty \mathrm e^{-st} \mathrm e^{-\lambda t} f(t) dt = \int_0^\infty \mathrm e^{-(s+\lambda)t} f(t) dt \tag{1B}$$

Portanto,

$$\mathcal L \lbrace \mathrm e^{-\lambda t} f(t) \rbrace = F(s + \lambda) \tag{1C}$$
Exemplo: Determinar a transformada inversa da função:

$$G(s) = \frac{3}{s^2 + 4s + 13}$$
Com álgebra simples, s2 + 4s + 13 = s2 + 4s + 4 + 9 = (s + 2)2 + 32. Portanto,

$$G(s) = \frac{3}{(s+2)^2 + 3^2}$$
Seja a função

$$F(s) = \frac{3}{s^2 + 3^2}$$
A sua transformada inversa é f(t) = sin 3t.  Mas G(s) = F(s + 2).  Portanto, segundo (1C),

$$\mathcal L^{-1} \lbrace G(s) \rbrace = \mathrm e^{-2t} \sin 3t$$
De outra forma, o teorema do deslocamento pode ser escrito:

$$\mathcal L \lbrace f(t-a) \rbrace = \mathrm e^{-as} F(s) \tag{1D}$$

2) Teorema da Convolução

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A convolução (ou produto de convolução) de duas funções f(t) e g(t) é definida por:

$$(f*g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t-\tau) d\tau \tag{2A}$$
Da definição acima e da definição de transformada de Laplace, pode ser demonstrado que:

$$\mathcal L \lbrace (f*g)(t) \rbrace = \mathcal L \lbrace f(t) \rbrace \mathcal L \lbrace g(t) \rbrace = F(s) G(s) \tag{2B}$$

De forma análoga,

$$\mathcal L^{-1} \lbrace F(s) G(s) \rbrace = (f*g)(t) \tag{2C}$$
Exemplo: supondo condições iniciais  y'(0) = y(0) = 0, resolver a equação diferencial:

y''(t) + y(t) = cos t

Da transformada de derivadas, conforme visto na primeira página desta série e para as condições iniciais informadas,

ℒ{ y''(t) } = s2 ℒ{ y(t) } − s y(0) − y'(0) = s2 ℒ{ y(t) }

Aplicando a transformada em ambos os lados e substituindo,

s2 ℒ{ y(t) } + ℒ{ y(t) } = (s2 + 1) ℒ{ y(t) } = ℒ{ cos t }

Portanto,

$$Y(s) = \mathcal L \lbrace y(t) \rbrace = \frac{1}{s^2 + 1} \mathcal L \lbrace \cos t \rbrace = \mathcal L \lbrace \sin t \rbrace \mathcal L \lbrace \cos t \rbrace$$

De acordo com (2C),

ℒ{ sin t } ℒ{ cos t } = ℒ{ (sin * cos)(t) }

Para o cálculo da convolução acima, usa-se a identidade trigonométrica:

cos a sin b = (1/2) [ sin(a + b) − sin(a − b) ]

$$(\sin * \cos)(t) = \int_0^t \cos \tau \sin (t-\tau) d\tau = 1/2 \int_0^t [\sin t - \sin (2\tau - t)] d\tau$$

$$(\sin * \cos)(t) = (1/2) \big[ \tau \sin t + (1/2) \cos (2\tau - t) \big]_0^t = (1/2) t \sin t$$

Portanto,

$$Y(s) = \mathcal L \lbrace y(t) \rbrace = \mathcal L \lbrace \sin t \rbrace \mathcal L \lbrace \cos t \rbrace = \mathcal L \lbrace (\sin*\cos)(t) \rbrace = \mathcal L \lbrace (1/2) t \sin t \rbrace$$

E a solução é:

$$y(t) = \frac{1}{2} t \sin t$$
Referências
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2018