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Transformada de Laplace 1-III

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Tópicos: Método das Frações Parciais |


1) Método das Frações Parciais

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Seja uma função genérica F(s), dada pela divisão de duas polinomiais (onde m < n):

$$F(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{b_m s^m + \cdots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0} \tag{1A}$$

A expansão de F(s) em frações parciais pode ser feita na forma:

$$F(s) = \frac{k_n}{s - p_n} +\cdots+ \frac{k_i}{s - p_i} +\cdots+ \frac{k_1}{s - p_1} \tag{1B}$$

As seguintes definições são adotadas:

• Os valores pn ... p1 são as raízes de A(s) e são denominados pólos de F(s)

• As raízes de B(s) são os zeros de F(s)

• O valor ki é denominado resíduo em pi

Multiplicando (1B) por um denominador genérico s − pi,

$$(s-p_i) F(s) = \frac{k_n(s-p_i)}{s - p_n} +\cdots+ p_i +\cdots+ \frac{k_1 (s-p_i)}{s - p_1} \tag{1C}$$

Se s = pi, ocorre:

$$k_i = (s - p_i) F(s) \big\vert_{s=p_i} \tag{1D}$$
E os valores das constantes ki podem ser determinados através da relação acima.

Exemplo:

$$F(s) = \frac{3s+4}{s^3 + 6s^2 + 11s + 6}$$
As raízes do polinômio do denominador são −1, −2 e −3. Portanto,

$$F(s) = \frac{3s+4}{(s+1)(s+2)(s+3)}$$
Conforme (1D),

$$k_3 = (s+1) F(s)\big|_{s=-1} = \frac{3s+4}{(s+2)(s+3)} \Big\vert_{s=-1} = 1/2\\ k_2 = (s+2) F(s)\big|_{s=-2} = \frac{3s+4}{(s+1)(s+3)} \Big\vert_{s=-2} = 2\\ k_1 = (s+3) F(s)\big|_{s=-3} = \frac{3s+4}{(s+1)(s+2)} \Big\vert_{s=-3} = -5/2$$

Portanto, a função F(s) pode ser escrita:

$$F(s) = \frac{1}{2} \frac{1}{s+1} + 2 \frac{1}{s+2} - \frac{5}{2} \frac{1}{s+3}$$
Com esse resultado, a transformada inversa de Laplace é determinada:

$$\mathcal L^{-1} \lbrace F(s) \rbrace = \frac{1}{2} \mathrm e^{-t} + 2 \mathrm e^{-2t} - \frac{5}{2} \mathrm e^{-3t}$$
Se o polinômio do denominador tem raízes repetidas, o procedimento é mais complexo. Consideram-se uma raiz igual a p1 e r raízes iguais a p2:

$$F(s) = \frac{B(s)}{(s-p_1)(s-p_2)^r} \tag{1E}$$
E a expansão da função acima ocorre na forma:

$$F(s) = \frac{k_1}{s-p_1} + \frac{k_{21}}{(s-p2)^1} +\cdots+ \frac{k_{2r}}{(s-p2)^r} \tag{1F}$$

O coeficiente k1 pode ser calculado pela multiplicação de ambos os lados por (s − p1) conforme método anterior. Omitindo a demonstração, um coeficiente k2i é dado por:

$$k_{2i} = \frac{1}{(r-i)!} \frac{d^{r-i}}{ds^{r-i}} \Big[(s-p_2)^r F(s)\Big]_{s=p_2} \tag{1G}$$

Exemplo:

$$F(s) = \frac{s+2}{(s+1)^2}$$
O denominador tem duas raízes iguais (−1). Assim, a expansão é dada por:

$$F(s) = \frac{s+2}{(s+1)^2} = \frac{k_{21}}{(s+1)} + \frac{k_{22}}{(s+1)^2}$$
Neste caso simples, não é preciso usar a fórmula anterior. Multiplicando os lados por (s + 1)2,

$$s + 2 = k_{21} (s + 1) + k_{22}$$
Fazendo s = −1 nessa igualdade, tem-se k22 = 1. Substituindo esse valor,

$$s + 1 = k_{21} (s + 1)$$
Portanto, k21 = 1. E o resultado da expansão é:

$$F(s) = \frac{s+2}{(s+1)^2} = \frac{1}{(s+1)} + \frac{1}{(s+1)^2}$$
A transformada inversa de Laplace pode ser determinada:

$$\mathcal L^{-1} \lbrace F(s) \rbrace = \mathrm e^{-t} + t \mathrm e^{-t}$$
Referências
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2018