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Transformada de Laplace 1-II

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Tópicos: Alguns Exemplos | Solução de Equações Diferenciais Lineares |


1) Alguns Exemplos

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Exemplo 01: seja $f(t) = 3 u(t) + 5 \mathrm{e}^{-2t}$, onde u(t) é a função degrau unitário. Para a determinação da sua transformada de Laplace, usa-se a propriedade de linearidade (ver página anterior):

$$F(s) = \mathcal{L}\lbrace 3u(t)\rbrace + \mathcal{L}\lbrace 5\mathrm{e}^{-2t} \rbrace = 3 \mathcal{L}\lbrace u(t)\rbrace + 5 \mathcal{L}\lbrace \mathrm{e}^{-2t} \rbrace$$

$$F(s) = \frac{3}{s} + \frac{5}{s+2} = \frac{8s+ 6}{s(s+2)} \tag{1A}$$
Exemplo 02: determinar a transformada inversa, isto é, f(t) ou −1{ F(s) } para a função seguinte.

$$F(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \tag{1B}$$
Poder-se-ia usar a fórmula de integração vista na página anterior para a transformada inversa. Mas esse aspecto não é aqui dado em detalhes e o problema pode ser resolvido de outra forma, considerando que s2 + 3s + 2 = (s + 1) (s + 2). Sejam então duas incógnitas α e β tais que a relação abaixo seja verdadeira.

$$\frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{\alpha}{s+1} + \frac{\beta}{s+2} \tag{1C}$$
Desenvolvendo,

$$\frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{(\alpha+\beta)s + 2 \alpha + \beta}{s^2 + 3s + 2} \tag{1D}$$
Portanto, (α + β) s + 2 α + β = 1. Essa relação é válida se (α + β) = 0. Assim, α =  1 e β = −1. Então,

$$\mathcal{L}^{-1} \Big\lbrace \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \Big\rbrace = \mathcal{L}^{-1} \Big\lbrace \frac{1}{s+1} \Big\rbrace - \mathcal{L}^{-1} \Big\lbrace \frac{1}{s+2} \Big\rbrace \tag{1E}$$

Considerando a relação $\mathcal{L} \lbrace \mathrm e^{at} \rbrace = \frac{1}{s-a}$, dada na página anterior, tem-se a solução:

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \lbrace F(s) \rbrace = \mathcal{L}^{-1} \Big\lbrace \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \Big\rbrace = \mathrm e^{-t} - \mathrm e^{-2t} \tag{1F}$$


2) Solução de Equações Diferenciais Lineares

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Considera-se a propriedade da linearidade, ℒ{ a f(t) + b g(t) } = a F(s) + b G(s), bem como a transformada da derivada, ℒ{ f'(t) } = s F(s) − f(0). Com elas, é possível resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Exemplo 01: resolver a equação diferencial abaixo, supondo condição inicial y(0) = 4.

$$\frac{dy}{dt} + 2y = -2 \tag{2A}$$
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados,

$$s Y(s) - y(0) + 2 Y(s) = -2/s \tag{2B}$$
Com essa operação, a derivada é eliminada e Y(s) pode ser isolado com a substituição do valor dado de y(0):

$$Y(s) = \frac{4s - 2}{s(s+2)} \tag{2C}$$
Usando método similar ao do segundo exemplo do tópico anterior, a fração acima é separada em partes mais simples:

$$Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{5}{s+2} \tag{2D}$$
E o problema é resolvido com a transformada inversa:

$$y(t) = \mathcal{L}^{-1} \lbrace Y(s) \rbrace = - \mathcal{L}^{-1} \lbrace 1/s \rbrace + \mathcal{L}^{-1} \lbrace 5/(s+2) \rbrace = -1 + 5 \mathrm e^{-2t} \tag{2E}$$


Exemplo 02: uma cuba tem capacidade de V litros conforme Figura 2-I e, inicialmente, contém esse volume de água pura. A partir do instante t = 0, é aplicada uma vazão constante de Q litros por segundo de água com uma concentração constante de c gramas por litro de um determinado sal. O volume V de água é mantido constante pelo bocal de saída e a concentração é mantida homogênea pelo agitador.

Determinar a variação com o tempo da concentração y(t) de sal na cuba.

Exemplo de aplicação de transformada de Laplace
Fig 2-I

Da figura, é possível concluir que, a cada instante, a quantidade de sal que entra (Q c) menos a que sai (Q y) deve ser igual à variação da quantidade de sal na cuba, ou seja:

$$V \frac{dy}{dt} = Q c - Q y \tag{2F}$$
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados dessa equação,

$$\mathcal L \Big\lbrace V \frac{dy}{dt} \Big\rbrace = \mathcal L \lbrace Q c \rbrace - \mathcal L \lbrace Q y \rbrace \tag{2G}$$
$$V [s Y(s) - y(0)] = Q \frac{c}{s} - Q Y(s) \tag{2H}$$
Desde que, inicialmente, a água é pura, y(0) = 0

$$V s Y(s) = Q \frac{c}{s} - Q Y(s) \tag{2I}$$
Isolando Y(s) e reagrupando de forma conveniente,

$$Y(s) = c \Big[\frac{1}{s} - \frac{1}{s + Q/V} \Big] \tag{2J}$$
Determinando a transformada inversa,

$$y(t) = \mathcal L^{-1} \lbrace Y(s) \rbrace = c \Big(1 - \mathrm e^{- \frac{Q}{V}t} \Big) \tag{2K}$$
Referências
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2018