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Transformada de Laplace 1-I

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Tópicos: Conceito e Outras Informações | Transformada de Laplace para Algumas Funções | Função Delta (ou função impulso) | Algumas Propriedades | Transformadas de Derivadas e de Integrais | Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final |


1) Conceito e Outras Informações

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Seja uma função de domínio de tempo f(t). A transformada de Laplace para essa função é dada por:

$$\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = F(s) = \int_0^\infty \mathrm e^{-st} f(t) dt \tag{1A}$$
É o mapeamento do domínio tempo para o domínio s, uma variável complexa. Considerando que a variável t indica tempo, s deve ter a dimensão do inverso de tempo (frequência), uma vez que que o expoente − s t deve ser adimensional. Desde que é uma transformação linear, valem as propriedades desta última. Por exemplo,

$$\mathcal{L}\lbrace a f(t) + b g(t) \rbrace = a \mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace + b \mathcal{L}\lbrace g(t) \rbrace \tag{1B}$$

Um exemplo simples de determinação da transformada de Laplace é a função degrau unitário u(t) conforme Figura 1-I:

$$u(t) = \left\{\begin{array}{ll}1 \quad t \geq 0\\0 \quad t < 0 \end{array}\right. \tag{1C}$$
Função degrau unitário
Fig 1-I

Portanto,

$$\mathcal{L}\lbrace u(t) \rbrace = \int_0^\infty \mathrm e^{-st} 1 dt = -\frac{1}{s} \mathrm e^{-st} \Big\vert_0^\infty = \frac{1}{s} \tag{1D}$$

O inverso da transformada de Laplace é dado por:

$$f(t) =\mathcal{L}^{-1}\lbrace F(s) \rbrace = \frac{1}{2 \pi j} \int_{c -j\infty}^{c +j\infty} \mathrm e^{st} F(s) ds \tag{1E}$$

Corresponde a uma integração de linha no plano complexo. Por enquanto, mais detalhes não são aqui informados.


2) Transformadas de Laplace para Algumas Funções

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É importante lembrar que as funções consideradas para transformadas de Laplace têm valor nulo para t < 0. Um exemplo para f(t) = eat é dado na Figura 2-1 a seguir:

Função para transformada de Laplace
Fig 2-I

Portanto, a função acima pode ser rigorosamente escrita como f(t) = eat u(t). Onde u(t) é a função degrau unitário vista no tópico anterior. A tabela a seguir dá as transformadas de Laplace para algumas funções usuais.

f(t) ℒ{ f(t) } Ref
1 $$\frac{1}{s}$$ (2A)
$$\mathrm e^{at}$$ $$\frac{1}{s-a}$$ (2B)
$$\frac{t^n}{n!} \mathrm e^{at}$$ $$\frac{1}{(s-a)^{n+1}}$$ (2C)
$$t^n$$ $$\frac{n!}{s^{n+1}}$$ (2D)
$$\sin \omega t$$ $$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$ (2E)
$$\cos \omega t$$ $$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$$ (2F)
$$\mathrm e^{-at} \sin \omega t$$ $$\frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2}$$ (2G)
$$\mathrm e^{-at} \cos \omega t$$ $$\frac{s + a}{(s+a)^2 + \omega^2}$$ (2H)


3) Função Delta (ou Função Impulso)

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Seja uma função definida na forma:

$$\delta_n(t) = \left\{\begin{array}{ll}n \quad 0 \leq t < 1/n\\0 \quad t < 0\\0 \quad t \geq 1/n \end{array}\right. \tag{3A}$$
Graficamente, essa função pode ser vista em (a) da Figura 3-1.

Função delta ou impulso
Fig 3-I

Para qualquer n, pode ser deduzido que:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_n (t) dt = n \frac{1}{n} = 1 \tag{3B}$$
A função delta (ou função impulso) é dada pelo limite de δn (t) quando n tende para infinito:

$$\delta (t) = \lim_{n \rightarrow \infty} \delta_n (t) \tag{3C}$$
De (3A), pode ser deduzido que:

$$\delta(t) = \left\{\begin{array}{ll}\infty \quad t = 0\\0 \quad \ \ t \neq 0\end{array}\right. \tag{3D}$$
De (3B), tem-se:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1 \tag{3E}$$
Rigorosamente, δ(t) não pode ser considerada uma verdadeira função matemática, mas é uma abstração útil para indicar um pulso de curta duração, de forma similar ao Ponto Material da Mecânica. A representação gráfica usual é dada em (b) da Figura 3-1.

A função delta tem a propriedade:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) f(t) dt = f(0) \tag{3F}$$
Essa propriedade permite determinar a transformada de Laplace:

$$\mathcal{L}\lbrace \delta(t) \rbrace = \int_0^{+\infty} \mathrm e^{-st} \delta(t) dt = \mathrm e^0 = 1 \tag{3G}$$
Da definição anterior da função degrau unitário, deduz-se:

$$\frac{d u(t)}{dt} = \left\{\begin{array}{ll}\infty \quad t = 0\\0 \quad \ \ t \neq 0\end{array}\right. \tag{3H}$$
Comparando com (3D), pode-se escrever:

$$\frac{d u(t)}{dt} = \delta (t) \tag{3I}$$
Portanto, a função delta pode ser considerada a derivada da função degrau unitário.


4) Algumas Propriedades

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Sejam as funções:

F(s) = ℒ{ f(t) }
G(s) = ℒ{ g(t) }

Algumas propriedades são dadas pelas relações a seguir.

$$\mathcal{L}\lbrace a f(t) + b g(t) \rbrace = a F(s) + b G(s) \tag{4A}$$
$$\mathcal{L}\lbrace f(at) \rbrace = \frac{1}{|a|} F(s/a) \tag{4B}$$
$$\mathcal{L}\lbrace \mathrm e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a) \tag{4C}$$
$$\mathcal{L}\lbrace f(t-a) \rbrace = \mathrm e^{-as} F(s) \tag{4D}$$
$$\mathcal{L} \Big\lbrace \frac{f(t)}{t} \Big\rbrace = \int_s^\infty F(\sigma) d\sigma \tag{4E}$$
$$\mathcal{L} \lbrace t f(t) \rbrace = - F'(s) \tag{4F}$$

5) Transformadas de Derivadas e de Integrais

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$$\mathcal{L} \Big\lbrace \frac{df(t)}{dt} \Big\rbrace = s F(s) - f(t) \Big\vert_{t=0} \tag{5A}$$
$$\mathcal{L} \Big\lbrace \frac{d^2f(t)}{dt^2} \Big\rbrace = s^2 F(s) - s f(t) \Big\vert_{t=0} - \frac{df(t)}{dt}\Big\vert_{t=0} \tag{5B}$$

$$\mathcal{L} \Big\lbrace \int_0^t f(u) du \Big\rbrace = \frac{1}{s} F(s) \tag{5C}$$

6) Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final

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Valor inicial:

$$\lim_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim_{s \rightarrow \infty} s F(s) \tag{6A}$$
Valor final:

$$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} s F(s) \tag{6B}$$
O teorema do valor final é útil para a determinação do limite n→∞ de uma função f(t) através da Transformada de Laplace. Entretanto, a igualdade só é válida se sF(s) não tiver singularidades na parte direita (Re(s) ≥ 0) do plano complexo.

Seja o exemplo da função $F(s) = \frac{1}{s(s+1)}$. Obtém-se o produto $s F(s) = \frac{1}{s+1}$. A singularidade ocorre para s = −1. Portanto, pode-se calcular:

$$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} \Big(\frac{1}{s+1} \Big) = 1$$
Considera-se agora a função $F(s) = \frac{1}{s-2}$. Pode-se concluir que a igualdade não é válida em razão do comportamento em s = +2.
Referências
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Fev/2018