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Transformada de Fourier 1-II

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Tópicos: Exemplo de Cálculo da Forma Discreta | Transformada para as Funções Seno e Cosseno |


1) Exemplo de Cálculo da Forma Discreta

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A tabela a seguir é um exemplo simples em planilha de cálculo da forma discreta segundo tópico Conceitos Básicos da página anterior.

São consideradas N=50 amostras com intervalo τ=1/50, portanto, t(k) = k/50. A função de domínio de tempo do sinal é dada por:

$$g[t(k)] = 5 + 4 \sin [2 \pi \ 5 \ t(k)] \tag{1A}$$
É, portanto, um sinal senoidal de amplitude 4, frequência 5 Hz, acrescido de um componente contínuo de amplitude 5 (mais informações no final da tabela).

A B C D E F G H I J
k t(k) g[t(k)] f −2πft(k) cos(E) sin(E) g[t(k)]cos(E) g[t(k)]sin(E) Res
0 0,000 5,00 5 0,000 1,000 0,000 5,000 0,000 Real
1 0,020 7,35 5 -0,628 0,809 -0,588 5,947 -4,321 0,000
2 0,040 8,80 5 -1,257 0,309 -0,951 2,721 -8,373
3 0,060 8,80 5 -1,885 -0,309 -0,951 -2,721 -8,373 Img
4 0,080 7,35 5 -2,513 -0,809 -0,588 -5,947 -4,321 -2,000
5 0,100 5,00 5 -3,142 -1,000 0,000 -5,000 0,000
6 0,120 2,65 5 -3,770 -0,809 0,588 -2,143 1,557 A(f)
7 0,140 1,20 5 -4,398 -0,309 0,951 -0,370 1,137 2,000
8 0,160 1,20 5 -5,027 0,309 0,951 0,370 1,137
9 0,180 2,65 5 -5,655 0,809 0,588 2,143 1,557
10 0,200 5,00 5 -6,283 1,000 0,000 5,000 0,000
11 0,220 7,35 5 -6,912 0,809 -0,588 5,947 -4,321
12 0,240 8,80 5 -7,540 0,309 -0,951 2,721 -8,373
13 0,260 8,80 5 -8,168 -0,309 -0,951 -2,721 -8,373
14 0,280 7,35 5 -8,796 -0,809 -0,588 -5,947 -4,321
15 0,300 5,00 5 -9,425 -1,000 0,000 -5,000 0,000
16 0,320 2,65 5 -10,053 -0,809 0,588 -2,143 1,557
17 0,340 1,20 5 -10,681 -0,309 0,951 -0,370 1,137
18 0,360 1,20 5 -11,310 0,309 0,951 0,370 1,137
19 0,380 2,65 5 -11,938 0,809 0,588 2,143 1,557
20 0,400 5,00 5 -12,566 1,000 0,000 5,000 0,000
21 0,420 7,35 5 -13,195 0,809 -0,588 5,947 -4,321
22 0,440 8,80 5 -13,823 0,309 -0,951 2,721 -8,373
23 0,460 8,80 5 -14,451 -0,309 -0,951 -2,721 -8,373
24 0,480 7,35 5 -15,080 -0,809 -0,588 -5,947 -4,321
25 0,500 5,00 5 -15,708 -1,000 0,000 -5,000 0,000
26 0,520 2,65 5 -16,336 -0,809 0,588 -2,143 1,557
27 0,540 1,20 5 -16,965 -0,309 0,951 -0,370 1,137
28 0,560 1,20 5 -17,593 0,309 0,951 0,370 1,137
29 0,580 2,65 5 -18,221 0,809 0,588 2,143 1,557
30 0,600 5,00 5 -18,850 1,000 0,000 5,000 0,000
31 0,620 7,35 5 -19,478 0,809 -0,588 5,947 -4,321
32 0,640 8,80 5 -20,106 0,309 -0,951 2,721 -8,373
33 0,660 8,80 5 -20,735 -0,309 -0,951 -2,721 -8,373
34 0,680 7,35 5 -21,363 -0,809 -0,588 -5,947 -4,321
35 0,700 5,00 5 -21,991 -1,000 0,000 -5,000 0,000
36 0,720 2,65 5 -22,619 -0,809 0,588 -2,143 1,557
37 0,740 1,20 5 -23,248 -0,309 0,951 -0,370 1,137
38 0,760 1,20 5 -23,876 0,309 0,951 0,370 1,137
39 0,780 2,65 5 -24,504 0,809 0,588 2,143 1,557
40 0,800 5,00 5 -25,133 1,000 0,000 5,000 0,000
41 0,820 7,35 5 -25,761 0,809 -0,588 5,947 -4,321
42 0,840 8,80 5 -26,389 0,309 -0,951 2,721 -8,373
43 0,860 8,80 5 -27,018 -0,309 -0,951 -2,721 -8,373
44 0,880 7,35 5 -27,646 -0,809 -0,588 -5,947 -4,321
45 0,900 5,00 5 -28,274 -1,000 0,000 -5,000 0,000
46 0,920 2,65 5 -28,903 -0,809 0,588 -2,143 1,557
47 0,940 1,20 5 -29,531 -0,309 0,951 -0,370 1,137
48 0,960 1,20 5 -30,159 0,309 0,951 0,370 1,137
49 0,980 2,65 5 -30,788 0,809 0,588 2,143 1,557

O resultado A(f) só é diferente de zero para frequência (coluna D) 0 (componente DC, que daria valor 5 conforme sinal original) e para frequência 5 (da senoide). Neste caso, ele deve ser multiplicado por 2 segundo tópico citado (Conceitos básicos).

Outras formas de sinal (coluna C) podem ser testadas e os resultados lidos para diferentes frequências (coluna D). Entretanto, os resultados somente serão corretos se obedecido o teorema de Nyquist, isto é, a frequência de amostragem (50 Hz neste exemplo) deve ser, no mínimo, o dobro da maior frequência contida no sinal a estudar.


2) Transformada para as Funções Seno e Cosseno

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Demonstrações são omitidas neste tópico. São apresentados apenas os resultados da transformada de Fourier.

Função seno:

$$f(t) = \sin (2 \pi f_0 t)\\G(f) = \frac{1}{2} i \big[\delta(f+f_0)] - \delta(f-f_0)\big] \tag{2A}$$
Função cosseno:

$$f(t) = \cos (2 \pi f_0 t)\\G(f) = \frac{1}{2} \big[\delta(f+f_0)] + \delta(f-f_0)\big] \tag{2B}$$
Nas relações acima, δ é a função delta (ou função impulso). Pode ser notado que G(f) só tem valor para frequências iguais a f0 (positiva ou negativa).
Referências
ANDREWS, James R.; ARTHUR, Gerald M. Spectrum Amplitude - Definition, Generation and Measurement. National Bureau of Standards, 1977.
Planetmath. http://planetmath.org/.
The Fundamentals of FFT-Based Signal Analysis and Measurement in LabVIEW and LabWindows/CVI. National Instruments, 2006.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Jan/2018