Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Transformada de Fourier 1-I

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Conceitos Básicos | Exemplo: Pulso Retangular |

O uso das transformadas de Fourier ocorre em áreas diversas como análise de sistemas, ótica, física quântica, teoria das probabilidades, etc. Na Eletrônica, a aplicação mais comum é o estudo de espectros de sinais, ou seja, a sua análise no domínio de frequência e não de tempo. Esta página procura dar algumas informações elementares sobre essa aplicação.


1) Conceitos Básicos

(Topo | Fim pág)

Seja um sinal genérico cuja amplitude y em função do tempo t é dada pela função:

$$y = g(t) \tag{1A}$$
Diz-se então que g é uma função de domínio de tempo (t). A Transformada de Fourier para essa função é uma função G(f) dada por:

$$G(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \ \mathrm e^{-j 2 \pi f t} dt \tag{1B}$$
Onde:

j unidade imaginária ($\sqrt{-1}$)
e, π constantes matemáticas
t tempo
f frequência

Desde que a integração é feita pela variável de tempo t, ela desaparece no resultado final e a função obtida G(f) é relacionada com a intensidade de cada frequência que forma o sinal, isto é, o seu espectro. Propriedades e outros aspectos da Transformada de Fourier não são comentados neste tópico.

Nos casos práticos em que amostras sucessivas do sinal são medidas, a Transformada Discreta de Fourier (DFT, segundo sigla em inglês) é usada para permitir o cálculo a partir dessa amostragem. Sejam então os parâmetros:

g(t)função do sinal em domínio de tempo
G(f)função do sinal em domínio de frequência
Nnúmero de amostras do sinal
τintervalo de tempo entre amostras consecutivas
kíndice base zero de N amostras, isto é, k varia de 0 a N−1
t(k)tempo da amostra de ordem k, ou seja, igual a k τ
junidade imaginária ($\sqrt{-1}$)
e, πconstantes matemáticas
ttempo
ffrequência

Com variáveis discretas, a integral anterior é trocada por somatório (considerando dt = τ) e t é trocado por t(k), que é igual a k τ. Aplicando a (1B) e reagrupando,

$$G(f) = \tau \sum_{k=0}^{N-1} g[\ t(k)\ ] \ \mathrm e^{\large{-j 2 \pi f k \tau}} \tag{1C}$$
Analisando (1B) ou (1C), nota-se que G é o resultado da integração (contínua ou discreta) de g ao longo do tempo. Assim, a unidade física de G é a unidade de g multiplicada por unidade de tempo (ou dividida por unidade de frequência). No caso da forma discreta (1C), deve-se dividir pelo tempo total (N τ) para produzir a magnitude do sinal:

$$G'(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} g[\ t(k)\ ] \ \mathrm e^{\large{-j 2 \pi f k \tau}} \tag{1D}$$
A relação acima ainda não está na forma adequada para cálculos práticos. O último termo é a representação exponencial de um número complexo, e o que se procura normalmente é a magnitude de G(f), que corresponde ao módulo do número gerado pela fórmula. De acordo com a teoria dos números complexos, pode-se separar as partes real e imaginária:

$$\Re [G'(f)] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} g[\ t(k)\ ] \ \cos (-2 \pi f k \tau) \tag{1E}$$

$$\Im [G'(f)] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} g[\ t(k)\ ] \ \sin (-2 \pi f k \tau) \tag{1F}$$

A amplitude em função da frequência corresponde ao módulo, que é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária. Para frequência zero (componente DC do sinal) o resultado é válido, mas, para outras frequências deve ser multiplicado por 2, uma vez que a transformada considera também o espectro negativo de frequências. Assim, a amplitude A(f) é dada por:

$$A(f) = C \sqrt{ \lbrace \Re [G'(f)] \rbrace^2 + \lbrace \Im [G'(f)] \rbrace^2 } \tag{1G}$$

Onde C = 1 para f = 0 e C = 2 nos demais casos. Se o propósito for obter os valores rms do sinal, os valores para frequência não nula devem ser divididos por √2. Alternativamente, pode ser usado C = √2 na fórmula.

Quanto ao ângulo de fase, ele é dado pelo arco cuja tangente é igual à relação entre as partes imaginária e real. Na maioria dos casos práticos, deseja-se saber a diferença em relação à frequência fundamental e, portanto, todos os ângulos são subtraídos do ângulo de fase da frequência fundamental (1º harmônico).


2) Exemplo: Pulso Retangular

(Topo | Fim pág)

Uma função f(t) de pulso retangular normalizado é dada por:

$$f(t) = \left\{\begin{array}{ll}0 & \quad |t| > 1/2 \\0 \mathrm{\ ou\ } 1 & \quad |t| = 1/2 \\ 1 & \quad |t| < 1/2 \end{array}\right. \tag{2A}$$
Pulso retangular
Fig 2-I

Este é um caso para uso da forma contínua segundo (1B) do tópico 1:

$$G(f) = \int_{-1/2}^{+1/2} \mathrm e^{-j 2 \pi f t} dt = \frac{1}{- j 2 \pi f} \mathrm e^{-j 2 \pi f t} \Big\vert_{-1/2}^{+1/2} = \frac{\sin \pi f}{\pi f} = \mathrm{sinc} (f) \tag{2B}$$

A figura a seguir mostra o gráfico para o valor absoluto de G(f).

Pulso retangular - espectro
Fig 2-II

Conclui-se, portanto, que o pulso retangular tem todas as frequências, de zero a infinito.
Referências
ANDREWS, James R.; ARTHUR, Gerald M. Spectrum Amplitude - Definition, Generation and Measurement. National Bureau of Standards, 1977.
Planetmath. http://planetmath.org/.
The Fundamentals of FFT-Based Signal Analysis and Measurement in LabVIEW and LabWindows/CVI. National Instruments, 2006.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Jan/2018