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Séries de Fourier 1-II

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Tópicos: Outro Exemplo: Retificador de Onda Completa | Mais sobre Harmônicos | Calculando Coeficientes |


1) Outro Exemplo: Retificador de Onda Completa

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Aqui há uma mudança de notação: as séries de Fourier são usadas em geral para análise de sinais que variam com o tempo, ou seja, a variável x é tempo. Assim, no lugar de f(x), será usado f(t).

Retificadores de onda completa aproveitam os dois semiciclos e produzem saídas na forma de uma sucessão de meias-senoides de mesma polaridade. Assim, o período é igual à metade do período da corrente de entrada.

Retificador de onda completa
Fig 1-I

Na Figura 1-I, f(t) é o resultado aproximado da retificação de uma tensão senoidal de período 2π e tensão de pico V = 6 V. A série de Fourier para ela é:

$$f(t) = \frac{2V}{\pi} - \frac{4V}{\pi} \Big(\frac{1}{3} \cos 2t + \frac{1}{15} \cos 4t + \frac{1}{35} \cos 6t + \cdots \Big) \tag{1A}$$

Regra de formação dos denominadores das parcelas:

$$\begin{align*}3 = 1 \times 3\\15 = 3 \times 5\\35 = 5 \times 7\\\text{etc}\end{align*}$$
Nota-se a presença do componente contínuo $2V/\pi$, representado pela linha horizontal superior na figura. A curva f(t) não tem o formato ideal porque foram usadas apenas as 4 parcelas dadas na igualdade anterior. Se fossem infinitas, a curva teria meias senoides perfeitas, tocando o eixo horizontal no valor zero.


2) Mais sobre Harmônicos

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Os sinais periódicos se transmitem pelos meios físicos como um conjunto de componentes senoidais conforme respectivas séries de Fourier. Se o sinal é senoidal, o processo é facilitado por existir somente o componente fundamental. Se não é, haverá em geral infinitos harmônicos. Nenhum dispositivo real tem resposta de frequência em uma faixa infinita. Assim, os circuitos de transmissão e recepção de sinais devem ter largura de banda suficiente para a passagem dos harmônicos mais significativos, de forma a permitir a reconstituição mais próxima possível do sinal original.

Em alguns casos, harmônicos são indesejáveis. A Figura 2-I (A) ilustra um método de controle de potência para resistências de aquecimento alimentadas por corrente alternada. Semicondutores de potência e circuitos de controle são usados para cortar os semiciclos da corrente por um intervalo de tempo t. Assim, a potência pode ser controlada de 0 a 100% pela variação de t de T/2 a 0. É o processo básico dos dimers usados para variar iluminação em residências.

Controles de potência por corte de pulso e por trem de pulsos
Fig 2-I

No método da Figura 2-I (A) são gerados harmônicos, uma vez que a corrente continua periódica, mas deixa de ser senoidal. No caso de um controle residencial de algumas centenas de watts, isso não representa problema. Num equipamento industrial, de dezenas ou centenas de quilowatts, harmônicos na faixa de megahertz podem ter intensidade suficiente para produzir interferências em outros aparelhos eletrônicos. Nesse caso, o método (B) parece mais adequado. Ligam-se ou desligam-se sequências de ciclos inteiros e o que se varia é a quantidade deles. Portanto, a forma senoidal é preservada, evitando harmônicos.


3) Calculando Coeficientes

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Seja a série de Fourier:

$$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos kt + \sum_{k=1}^\infty b_k \sin kt \tag{3A}$$

Os seus coeficientes são dados por:

$$a_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos kt \ dt \tag{3B}$$
$$b_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin kt \ dt \tag{3C}$$
A depender do sinal, a integração matemática pode ser trabalhosa ou complexa. Entretanto, métodos de integração gráfica usados em computadores tornam a tarefa simples, havendo instrumentos e programas para analisar na prática qualquer sinal periódico.
Referências
BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Jan/2018