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Séries de Fourier 1-I

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Tópicos: Definição e Exemplo |


1) Definição e Exemplo

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Uma função f(x) é dita periódica de período p se, para qualquer n inteiro e positivo, vale a relação:

$$f(x) = f(x + np) \tag{1A}$$
O estudo dessas funções é de especial importância na análise de oscilações, que são, por natureza, variações periódicas de grandezas físicas. Na Figura 1-I, exemplo gráfico de uma função periódica.

Função periódica
Fig 1-I

Seja f(x) uma função periódica de período 2π. A série de Fourier para essa função é a representação em forma de uma soma infinita de cossenos e senos:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos kx + \sum_{k=1}^\infty b_k \sin kx \tag{1B}$$

Casos particulares



• Se f(x) é uma função par, isto é, f(−x) = f(x), os bk são nulos e a série é uma soma de cossenos.

• Se f(x) é uma função ímpar, isto é, f(x) = −f(−x), os ak são nulos e a série é uma soma de senos.

• Se f(x + π) = −f(x), só existem coeficientes de índice ímpar.

Forma alternativa



A série de Fourier dada em (1A) pode ser escrita também na forma:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty c_k \sin (kx + \phi_k) \tag{1C}$$

Onde

$$c_k = \sqrt{a_k^2+b_k^2}\\\phi_k = \mathrm{arctan} (a_k/b_k) \tag{1D}$$

Exemplo



Na prática, não é possível o trabalho com infinitas parcelas e um número limitado deve ser empregado. Seja o exemplo da Figura 1-II, onde o sinal retangular dado pela função f(x) é resultante de:

$$f(x) = 5 + (4) \sin x + (4/3) \sin 3x + (4/5) \sin 5x + (4/7) \sin 7x + \cdots \tag{1E}$$

Na figura, f(x) é a soma das 5 parcelas explícitas nessa relação, que já produzem uma certa aproximação. Se fossem infinitas, o resultado seria uma forma geométrica perfeita conforme indicado pela linha tracejada.

Sinal retangular / rectangular wave
Fig 1-II

Considerando um sinal elétrico, analisa-se cada uma das parcelas da soma da série.

A primeira parcela (valor 5) é constante. Se não existisse, isto é, se fosse nula, o sinal estaria acima e abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal.

A segunda parcela (4 sin x) tem o mesmo período ou mesma frequência (inverso do período) do sinal original. Por essa igualdade, é denominada oscilação fundamental (ou primeiro harmônico) do sinal.

As parcelas seguintes têm frequências múltiplas (sin 3x, sin 5x, ...) da fundamental. São chamadas oscilações harmônicas ou simplesmente harmônicos do sinal.

Portanto, pode-se dizer que todo sinal periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação fundamental e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental (ou primeiro harmônico).

Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico.

A Figura 1-III é um gráfico das amplitudes dos 25 primeiros harmônicos do sinal quadrado em estudo. Esse tipo de gráfico é denominado espectro de frequências do sinal. Nele, não está considerado o componente contínuo (a0/2 na formulação da série).

Espectro do sinal retangular
Fig 1-III

O componente contínuo também pode ser visto como a amplitude do componente de freqüência zero do sinal.

Sinais desse tipo são bastante usados em circuitos digitais e de chaveamento, uma vez que as transições entre os níveis máximos e mínimos (as bordas dos pulsos) definem precisamente os tempos de comutação. São usados também em sintetizadores musicais para produzir alguns efeitos sonoros.

Para gerar um sinal retangular perfeito, um circuito precisaria produzir e transmitir todos os seus infinitos harmônicos, isto é, ter uma largura de banda infinita, impossível na prática. Em muitos casos, uma faixa até o quinto harmônico dá aproximação suficiente. A limitação de largura de banda pode também ser vista pelo lado da geração do pulso, ou seja, nenhum dispositivo prático consegue comutar instantaneamente de um nível de tensão ou corrente para um outro nível. Sempre há um tempo não nulo de subida ou descida (rise time, fall time).
Referências
BOUCHÉ, Ch; LEITNER, A; SASS, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Jan/2018