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Eletricidade 1-VII

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Tópicos: Capacitância de um Capacitor | Energia Armazenada num Capacitor | Voltímetro Eletrostático | Corrente Elétrica |


1) Capacitância de um Capacitor

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O arranjo de um capacitor básico é exibido, em corte, na Figura 1-I: duas placas condutoras planas e paralelas de mesma área S e separadas de uma distância d. Cada placa armazena cargas opostas +q e −q, produzindo um campo elétrico uniforme entre elas. O conjunto está supostamente sob vácuo. De acordo com a Lei de Gauss,

$$\epsilon_0 \Phi_E = \epsilon_0 \int \vec E \cdot d\vec S = \epsilon_0 E S = q \tag{1A}$$
Da relação já vista entre potencial e campo elétrico,

$$V = E d \tag{1B}$$
Da definição de capacitância,

$$q = C V \tag{1C}$$
Combinando essas igualdades e eliminando variáveis repetidas,

$$C = \epsilon_0 \frac{S}{d} \tag{1D}$$
Capacitor simples
Fig 1-I

Portanto, a capacitância aumenta com o aumento de área e com a redução da distância entre placas, conforme poderia ser esperado. Coube a Faraday o pioneirismo de constatação do incremento da capacitância pela introdução de um material isolante (dielétrico) entre as placas.A Figura 1-II mostra o arranjo do capacitor anterior com um dielétrico. Observa-se experimentalmente que, nessa condição, a capacitância é dada por:

$$C = k \epsilon_0 \frac{S}{d} \tag{1E}$$
Ou seja, é a capacitância do capacitor básico anterior multiplicada por uma constante k. Ela é denominada constante dielétrica do material porque, conforme observações práticas, é característica do material do dielétrico e não depende da forma do capacitor.

Capacitor simples com dielétrico
Fig 1-II

Das relações anteriores, conclui-se que, para o vácuo, k = 1 (exemplo para comparação: no caso de vidro, k ≈ 4,5). Cálculos com outros formatos de capacitores permitem deduzir que a formulação da igualdade (1E) para um capacitor genérico é:

$$C = k \epsilon_0 X \tag{1F}$$
Onde X é uma grandeza que tem dimensão de comprimento e depende da forma geométrica do capacitor. No caso de placas planas e paralelas, X = S / d.


2) Energia Armazenada num Capacitor

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Em página anterior, foi visto que, entre duas cargas mantidas separadas entre si por um meio externo, há uma energia potencial. O capacitor é uma configuração física que mantém cargas opostas separadas. Um capacitor carregado contém teoricamente uma quantidade de energia equivalente àquela que se consumiu para carregá-lo. Uma fonte que carrega um capacitor pode ser considerada um agente externo que retira elétrons da armadura positiva e os coloca na armadura negativa.

De acordo com o conceito de potencial elétrico entre dois pontos, $V_b - V_a = W_{ab} / q$. No caso do capacitor, $V_b - V_a = V$. Considerando variações infinitesimais, $V = dW / dq$ ou também $dW = V dq$. Mas, no capacitor, $q = CV$. Assim, $dW = C V dV$. Essa equação é resolvida por integração: $ W = \int C V dV$. O resultado é:

$$W = \tfrac{1}{2} C V^2 \tag{2A}$$
A fórmula acima indica, portanto, a energia armazenada num capacitor de capacitância C carregado de forma a apresentar uma diferença de potencial V entre placas.

Considerando o capacitor de placas planas e paralelas do tópico anterior, é possível calcular a energia armazenada por volume: $u = W / (S d) = (1/2) C V^2 / (S d)$. Substituindo C pela relação já vista, $C = k \epsilon_0 S / d$, e simplificando,

$$u = \tfrac{1}{2} k \epsilon_0 \left(\frac{V}{d}\right)^2 \tag{2B}$$
Mas $V/d = E$ (intensidade de campo elétrico). Portanto,

$$u = \tfrac{1}{2} k \epsilon_0 E^2 \tag{2C}$$
Embora deduzida para um capacitor, a fórmula acima é genérica e indica a energia armazenada por volume em um material de constante dielétrica k e submetido à ação de um campo elétrico E.


3) Voltímetro Eletrostático

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Este instrumento mede diferença de potencial (tensão) elétrica diretamente, sem uso de fenômenos eletromagnéticos. Serve como exemplo de aplicação de conceitos dados nos tópicos anteriores. A Figura 3-I mostra os elementos básicos. A construção é semelhante à de um capacitor variável: duas placas metálicas planas e paralelas, em forma de semicírculo, eletricamente isoladas da estrutura e separadas de uma pequena distância. Uma das placas é fixa e a outra pode girar em torno do centro geométrico do círculo, de modo que a área sobreposta S forma um capacitor cujo valor depende do ângulo α.

Voltímetro eletrostático
Fig 3-I

Se uma diferença de potencial V é aplicada entre as placas, a tendência da placa móvel é girar até se alinhar com a fixa, resultando em máxima capacitância e, assim, máxima energia armazenada. Entretanto, a ação da mola espiral limita o giro e impõe uma posição de equilíbrio. Para obedecer ao princípio da conservação da energia, a mola espiral deve armazenar igual quantidade de energia. E, segundo princípios da mecânica clássica, a relação do torque com a energia é $\tau = dW/d\alpha$. Substituindo W pelo valor de (2A) e reagrupando,

$$\tau = \tfrac{1}{2} \frac{dC}{d\alpha} V^2 \tag{3A}$$
Considerando que a mola trabalha na região elástica do material, a deflexão do ponteiro é proporcional ao torque. Se a variação da capacitância com o ângulo, $dC/d\alpha$, é constante, a indicação da escala é proporcional ao quadrado da tensão aplicada na entrada.

Pode ser observado que esse medidor, em teoria, não drena energia do circuito medido, com exceção do breve período inicial para carga do capacitor. O instrumento pode ser usado também com tensões alternadas, ficando a proporcionalidade anterior relativa ao quadrado do valor eficaz. Em qualquer caso, devido a limitações práticas de sensibilidade, só pode medir tensões altas, na faixa de quilovolts.


4) Corrente Elétrica

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Se um meio condutor põe em contato dois elementos entre os quais há uma diferença de potencial elétrico, cargas elétricas serão deslocadas devido a essa diferença de potencial, resultando em uma corrente elétrica.

A Figura 4-I abaixo representa algumas situações possíveis sobre o modo de movimentação das cargas, que depende do meio condutor:

• Em A, somente cargas positivas (é o caso dos buracos em semicondutores tipo P).
• Em B, somente cargas negativas (elétrons nos metais).
• Em C, ambos os tipos (é o caso de íons em soluções eletrolíticas).

O sentido convencional da corrente elétrica é graficamente representado por uma seta na direção do campo. Ele é oposto ao movimento de cargas nos metais, que são o meio condutor mais comum.

Exemplos de correntes elétricas
Fig 4-I

A grandeza intensidade de corrente elétrica (símbolo usual "i") é definida pela carga elétrica por unidade de tempo que passa por uma seção do condutor:

$$i = \frac{dq}{dt} \tag{4A}$$
A unidade de corrente elétrica no Sistema Internacional, que seria C/s, é denominada Ampère (A).

A manutenção de uma corrente elétrica em um condutor implica a necessidade do fornecimento de energia, pois ela ocorre devido à aceleração de cargas pelo campo elétrico. Da definição de potencial elétrico considerando o uso de infinitesimais, V = dW / dq ou dW = V dq. A potência é dada por P = dW / dt. Assim, P = V dq / dt. Substituindo o valor de (4A),

$$P = V\ i \tag{4B}$$
A fórmula acima indica a potência demandada por um dispositivo pelo qual circula uma corrente elétrica i sob uma diferença de potencial V.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BROPHY, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018