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Eletricidade 1-VI

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Tópicos: Potencial Elétrico | Potencial e Campo Elétrico em uma Esfera Condutora | Capacitância |


1) Potencial Elétrico

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Aqui será considerado um campo elétrico uniforme de intensidade E, conforme Figura 1-I. Pode ser um campo genérico, mas o desenvolvimento matemático é mais complexo. Sejam os pontos a e b da figura e uma carga positiva q. A diferença de potencial elétrico V entre esses pontos é dada pela razão entre o trabalho necessário para deslocar a carga q de a até b e essa carga:

$$V_b - V_a = \frac{W_{ab}}{q} \tag{1A}$$
A unidade de V, que em termos de outras do Sistema Internacional seria joule por coulomb (J/C), é denominada volt (V). É usual considerar Va um potencial de referência e de valor nulo (em muitos casos a superfície da Terra é essa referência). Assim, a diferença de potencial fica dada por:

$$V_b = \frac{W}{q} \tag{1B}$$
Potenciais elétricos em um campo uniforme
Fig 1-I

Considerando força F e deslocamento X na mesma direção, o trabalho é igual ao produto dos seus módulos: Wab = F (Xb − Xa). Conforme definição de campo elétrico (E), a força em uma carga q é dada por: F = − q E. O sinal negativo indica que a força F tem direção oposta à do campo E, conforme pode ser visto na figura. Combinando essas igualdades com (1A), chega-se a: Vb − Va = − q E (Xb − Xa) / q. Simplificando e usando a notação de intervalo,

$$E = - \frac{\Delta V}{\Delta X} \tag{1C}$$
Por essa relação, deduz-se que, no lugar de newton por coulomb (N/C), a unidade de campo elétrico pode ser volt por metro (V/m), que é a preferida na prática. Verifica-se também que, devido ao sinal negativo, o vetor campo elétrico aponta na direção em que o potencial elétrico diminui.

O desenvolvimento matemático aqui não é dado, mas é possível demonstrar que, no caso de campo uniforme, o trabalho para deslocar a carga de a até b é igual ao trabalho para deslocar de a até b'. Generalizando esse fato e considerando o campo no espaço, conclui-se que superfícies de mesmo potencial ou superfícies equipotenciais são planos perpendiculares à direção do campo, no caso de campo elétrico uniforme.

Cortes de superfícies equipotenciais de um campo de uma carga puntiforme
Fig 1-II

Para campos elétricos não uniformes, a determinação de superfícies equipotenciais exige em geral procedimentos matemáticos mais complexos. No caso particular do campo de uma carga puntiforme, a simetria sugere que são superfícies esféricas concêntricas conforme indicado em corte na Figura 1-II.

Vale lembrar que, em qualquer caso, superfícies equipotenciais e linhas de forças são ortogonais entre si.

Voltando ao caso da carga puntiforme segundo Figura 1-II, é possível demonstrar que o potencial de uma superfície equipotencial de raio r é dado por:

$$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r} \tag{1D}$$
Essa relação também vale para a região externa de uma esfera com cargas elétricas uniformemente distribuídas.


2) Potencial e Campo Elétrico em uma Esfera Condutora

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A parte superior da Figura 2-I indica o corte de uma esfera condutora de raio R, supostamente carregada com uma carga positiva q. Deseja-se saber a variação do potencial e do campo elétrico em função da distância r ao centro da esfera.

Esfera condutora carregada
Fig 2-I

O potencial elétrico para r ≥ R é dado por (1D):

$$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$$
Desde que a esfera é condutora, não pode haver diferença de potencial no corpo. Assim, para r < R, ele é constante e igual ao potencial da superfície:

$$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{R}$$
Para r ≥ R, o campo elétrico é dado pela lei de Gauss, vista em página anterior:

$$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}$$
De acordo com (1C) do tópico anterior, o campo elétrico no interior da esfera deve ser nulo porque o potencial elétrico é constante.


3) Capacitância

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Sejam duas esferas de raio r, com cargas elétricas de mesmo valor q, mas opostas e distantes D uma da outra. A distância D é suficientemente grande para se considerar desprezível a interação elétrica entre elas (Figura 3-I). Nessas condições, o potencial elétrico das esferas superior e inferior é dado por:

$$\pm V' = \pm \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r} \tag{3A}$$
Calculando a diferença de potencial,

$$(+V') - (-V') = V'' = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$$
Portanto,

$$q = (2 \pi \epsilon_0 r) V'' = C' V'' \tag{3B}$$
A constante C' é denominada capacidade ou capacitância do conjunto das esferas.

Capacitância entre esferas
Fig 3-I

Se as esferas são aproximadas para uma distância d na qual seja considerável a interação dos seus respectivos campos elétricos, as igualdades anteriores não são mais válidas, mas observa-se que a diferença de potencial entre elas diminui e, portanto, a capacitância aumenta. De forma genérica, a capacitância C é definida pela relação entre a carga elétrica armazenada e a diferença de potencial:

$$C = \frac{q}{V} \tag{3C}$$
Capacitores são componentes elétricos que utilizam esse princípio para armazenar cargas elétricas.

A unidade de capacitância, coulomb por volt no Sistema Internacional, é denominada farad (F) em homenagem a Michael Faraday, pioneiro no estudo desse fenômeno. Desde ela é grande para a maioria das aplicações práticas, submúltiplos como µF, nF, pF são de uso comum.
Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967.
BROPHY, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018