Eletricidade 1-VI

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Eletricidade 1-VI

1) Potencial Elétrico

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• É considerado um campo elétrico uniforme de intensidade E, conforme Figura 1-I.

• Pode ser um campo genérico, mas o desenvolvimento matemático é mais complexo.

• Sejam os pontos a e b da figura e uma carga positiva q. A diferença de potencial elétrico V entre esses pontos é dada pela razão entre o trabalho necessário para deslocar a carga q de a até b e essa carga:
$$V_b - V_a = \frac{W_{ab}}{q} \tag{1A}$$ • Unidade de potencial elétrico no Sistema Internacional é volt (V), equivalente a joule por coulomb (J/C).

• V_a é normalmente um potencial de referência e de valor nulo (em muitos casos, a superfície da Terra é essa referência). Assim, a relação anterior torna-se:
$$V_b = \frac{W}{q} \tag{1B}$$

Potenciais elétricos em um campo uniforme

Fig 1-I

• Considerando força F e deslocamento X na mesma direção, o trabalho é igual ao produto dos seus módulos: W_ab = F (X_b − X_a)

• Conforme definição de campo elétrico (E), a força em uma carga q é dada por: F = − qE (sinal negativo indica que a força F tem direção oposta à do campo E, conforme pode ser visto na figura).

• Combinando essas igualdades com (1A): V_b − V_a = − q E (X_b − X_a) / q. Simplificando e usando a notação de intervalo,
$$E = - \frac{\Delta V}{\Delta X} \tag{1C}$$ • Por essa relação, deduz-se que, no lugar de newton por coulomb (N/C), a unidade de campo elétrico pode ser volt por metro (V/m), que é a preferida na prática.

• Verifica-se também que, devido ao sinal negativo, o vetor campo elétrico aponta na direção em que o potencial elétrico diminui.

• Pode-se demonstrar que, no caso de campo uniforme, o trabalho para deslocar a carga de a até b é igual ao trabalho para deslocar de a até b'. Generalizando e considerando o campo no espaço, conclui-se que superfícies de mesmo potencial ou superfícies equipotenciais são planos perpendiculares à direção do campo, no caso de campo elétrico uniforme.

Cortes de superfícies equipotenciais de um campo de uma carga puntiforme

Fig 1-II

• Para campos elétricos não uniformes, a determinação de superfícies equipotenciais exige em geral procedimentos matemáticos mais complexos.

• No caso particular do campo de uma carga puntiforme, a simetria sugere que são superfícies esféricas concêntricas conforme indicado em corte na Figura 1-II.

• Vale lembrar que, em qualquer caso, superfícies equipotenciais e linhas de forças são ortogonais entre si.

• Voltando ao caso da carga puntiforme segundo Figura 1-II, é possível demonstrar que o potencial de uma superfície equipotencial de raio r é dado por:
$$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r} \tag{1D}$$ • Essa relação também vale para a região externa de uma esfera com cargas elétricas uniformemente distribuídas.

2) Relações Genéricas para Campo e Potencial Elétrico

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• Relação (1C) anterior contém apenas escalares porque é um caso particular. Mas campo elétrico é uma grandeza vetorial, conforme já visto.

• Por analogia, a relação sugere que, na forma genérica, campo elétrico é igual ao negativo do vetor gradiente do potencial elétrico:
$$\vec E = - \nabla V \tag{2A}$$ • Para o vácuo, a densidade de fluxo elétrico é definida por:
$$\vec D = \epsilon_0 \vec E \tag{2B}$$ • Desta página anterior, a relação (3C) pode ser combinada:
$$\vec D = \epsilon_0 \vec E = {q \over 4 \pi r^2} \hat r \tag{2C}$$ • Portanto, a dimensão de D é carga elétrica por área (C/m² no Sistema Internacional).

• Considerando Operadores Vetoriais comuns, pode-se supor que a divergência do vetor D (resulta num escalar) corresponde à densidade volumétrica de carga elétrica (ρ):
$$\nabla \cdot \vec D = \rho \tag{2D}$$ • Combinando as igualdades anteriores, obtém-se o laplaciano do potencial elétrico no vácuo (equação de Poisson):
$$\nabla^2 V = - {\rho \over \epsilon_0} \tag{2E}$$ • Se, no espaço considerado, não há cargas elétricas (ρ = 0), obtém-se a equação de Laplace:
$$\nabla^2 V = 0 \tag{2F}$$

Referências
ALONSO, Marcelo. FINN, Edward. Fundamental University Physics. Addison-Wesley, 1967. BROPHY, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977. GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus. HALLIDAY, David. RESNIK, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970. HYPERPHYSICS. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.

Topo | Rev: Mar/2018