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Autovalores e Autovetores

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Tópicos: Introdução / Definição | Alguns Exemplos | Cálculo de Autovalores e Autovetores |

01) Introdução / Definição

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Autovalores e autovetores são conceitos relacionados com transformações lineares, de aplicações em áreas diversas, como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. O prefixo eigen - do alemão - significa próprio, característico).

De forma gráfica: seja uma imagem formada por um retângulo com 2 vetores segundo (a) da Figura 1-I. A imagem sofre uma ampliação (transformação) apenas na horizontal, resultando no retângulo (b). Nessa operação o vetor $\vec v_2$ sofreu mudança de magnitude e de direção, mas, com o vetor $\vec v_1$, houve apenas mudança de magnitude, que pode ser dada pela multiplicação por um escalar. Diz-se então que $\vec v_1$ é um autovetor da transformação e que esse escalar é um autovalor associado.

Demonstração Gráfica de Autovalor e Autovetor
Fig 1-I

Na definição matemática, consideram-se transformações lineares, T:V → V, onde V é um espaço vetorial qualquer. Um vetor não nulo $\vec v$ em V é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que

$$T(\vec v) = \lambda \vec v \tag{1A}$$
O escalar λ é denominado um autovalor de T associado ao vetor. Pode-se concluir que $\vec v$ e $T(\vec v)$ são paralelos.


02) Alguns Exemplos

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Seja uma transformação que faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal em um espaço bidimensional real. Em termos de coordenadas essa transformação é escrita na forma:

$$T(x, y) = (x, -y) \tag{2A}$$
No exemplo da Figura 2-I, são indicados os vetores

$$\vec a = (2,0) \\ \vec b = (0,1) \\ \vec c = (-2,1)$$
Transformações de Reflexão Horizontal
Fig 2-I

Então $\vec a$ é um autovetor de autovalor 1 porque $T(\vec a) = (2,0) = \vec a$. Também $\vec b$ é um autovetor de autovalor −1 porque $T(\vec b) = (0,-1) = -\vec b$. Mas $\vec c$ não é autovetor porque $T(\vec c) = (-2,-1)$ não é paralelo a esse vetor. Observa-se que 1 e −1 são os autovalores da transformação e são associados a quaisquer vetores nas formas (x, 0) e (0, y) respectivamente.

Seja agora uma transformação que gira 90º para esquerda:

$$T(x, y) = (-y, x) \tag{2B}$$
Transformação de Giro 90º
Fig 2-II

Essa transformação não admite autovetores nem autovalores reais. Qualquer $T(\vec a)$ é perpendicular a $\vec a$ e, portanto, não pode existir um número real que, multiplicado por esse vetor, resulte em $T(\vec a)$. Ver Figura 2-II.


03) Cálculo de Autovalores e Autovetores

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Seja A a matriz da transformação T:V → V. Ela deve ser, portanto, uma matriz quadrada (n x n). Conforme já visto, para um autovalor λ e um autovetor $\vec v$, deve-se ter $T(\vec v) = \lambda \vec v$. De outra forma,

$$A\ \vec v = \lambda \vec v \tag{3A}$$
Considerando I a matriz unitária (ou matriz identidade), pode-se escrever $\lambda \vec v = \lambda I \vec v$. Substituindo na anterior e reagrupando, $\lambda I \vec v - A \vec v = 0$. De outra forma,

$$(\lambda \ I - A) \ \vec{v} = 0 \tag{3B}$$
Seja a função (denominada função característica da matriz A):

$$f(\lambda) = \mathrm{det}(\lambda \ I - A) \tag{3C}$$
Para solução não nula de (3B), deve-se ter o determinante nulo:

$$\mathrm{det}(\lambda \ I - A) = 0 \tag{3D}$$
Resolvendo a equação acima, obtém-se os valores de λ que, substituídos em (3A), permitem a determinação dos autovetores.

Exemplo - Seja a matriz A 3x3 dada por:

$$A = \begin{bmatrix}2&1&1\\2&3&4\\-1&-1&-2\end{bmatrix}$$
λ I é o produto do escalar λ pela matriz unitária I 3x3:

$$\lambda I = \begin{bmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{bmatrix}$$
A matriz da diferença é:

$$\lambda I - A= \begin{bmatrix}\lambda-2&-1&-1\\-2&\lambda-3&-4\\1&1&\lambda+2\end{bmatrix}$$
O seu determinante é calculado pelas relações a seguir.

det (λ I − A) = (λ − 2) [ (λ − 3) (λ + 2) − (1) (−4) ] − (−1) [ (−2) (λ + 2) − (1) (−4) ] + (−1) [ (−2) (1) − (1) (λ − 3) ] = [ (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 4λ − 8 ] + [−2λ ] − [−λ − 1] = (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 3 (λ − 3) = (λ − 3) [ (λ − 2) (λ + 2) + 3 ]

det (λ I − A) = (λ − 3) [ λ2 − 4 + 3 ] = (λ − 3) [ λ2 − 1 ]

Expandindo o último termo e igualando a zero conforme (3D),

det (λ I − A) = (λ − 3) (λ + 1) (λ − 1) = 0

As soluções dessa equação do terceiro grau são claramente:

λ = 1
λ = −1
λ = 3

Aplica-se agora a igualdade (3A) para o valor de λ = 1:

$$\begin{bmatrix}2&1&1\\2&3&4\\-1&-1&-2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}$$
Essa relação matricial pode ser transformada em um sistema de equações lineares através do desenvolvimento do produto das matrizes e posterior simplificação:

$$\begin{align*}+1v_1 + 1v_2 + 1v_3 = 0 \\+2v_1 + 2v_2 + 4v_3 = 0\\-1v_1 - 1v_2 - 3v_3 = 0\end{align*}$$
Somando a primeira com a terceira equação, v3 = 0. Substituindo nas demais, chega-se ao resultado:

$$v_1 + v_2 = 0 \quad \text{ou}\\v_1 = - v_2$$
Há infinitas soluções e pode-se dizer que o vetor é dado por $\vec v = \alpha(1, -1, 0)$ onde α é um escalar não nulo qualquer. Portanto, para o autovalor λ = 1, os autovetores são da forma:

$$\alpha(1, -1, 0) \quad \text{com}\ \alpha \neq 0$$
Procedimento idêntico pode ser usado para os demais valores de λ.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
Planetmath. http://planetmath.org/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Dez/2007