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Circuitos Elétricos XIV

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Tópicos: Exemplo de Análise: Ponte Resistiva | Ponte de Wheatstone |

1) Exemplo de Análise: Ponte Resistiva

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Seja o circuito de ponte de resistores conforme Figura 1-I. Deseja-se saber a resistência equivalente entre os terminais a e b.

Ponte resistiva
Fig 1-I

Deve-se notar que essa resistência equivalente não pode ser determinada por fórmulas de associações de resistores. Assim, são usados cálculos pelos métodos já vistos de análise de nós e de malhas.

Ponte resistiva - Análise de nós
Fig 1-II

Na Figura 1-II, o circuito anterior é redesenhado para uma disposição mais clara. A fonte vS mantém essa tensão entre os terminais, de forma que, considerando um deles referência, os nós de tensão desconhecida são v1 e v2. A seguir, matrizes do sistema de equações lineares, conforme modelo visto em página anterior, para análise nodal desse circuito.

$$\begin{pmatrix} 1/2+1/8+1/4&-1/4\\ -1/4&1/3+1/12+1/4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_S/2\\ v_S/3 \end{pmatrix}\tag{1A}$$

A solução de (1A) é v1 = v2 = (4/5) vS. E a corrente i é calculada por i = v1/8 + v2/12. Substituindo, i = (25/150) vS. E a resistência é dada por Rab = vS/i = 150/25 = 6 Ω

A Figura 1-III apresenta o circuito da ponte para análise por malhas. Nesse caso, há uma fonte de corrente iS, que forma a malha de corrente definida im3 = iS. As malhas a calcular são im1 e im2 conforme indicado.

Ponte resistiva: análise de malhas
Fig 1-III

A malha im3 produz quedas de tensão em R1 e em R4, que são consideradas na matriz de fontes de tensão no sistema de equações a seguir.

$$\begin{pmatrix} 2+3+4&-4\\ -4&12+8+4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{m1}\\ i_{m2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 i_S\\ 8 i_S \end{pmatrix}\tag{1B}$$

A solução de (1B) é im1 = im2 = (2/5) iS. Assim, a tensão entre a e b é vab = 3 im1 + 12 im2 = 6 iS. Ou Rab = 6 Ω, em concordância com o resultado anterior.


2) Ponte de Wheatstone

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O circuito do tópico anterior foi inventado por Samuel Christie, cientista inglês, em 1833. Foi aprimorado em 1843 por outro cientista inglês, Charles Wheatstone. Por isso, ficou conhecida com o nome deste último. A função original do circuito, que permanece até hoje, é a medição de grandezas elétricas.

Ponte de Wheatstone
Fig 2-I

No circuito da Figura 2-I, a ponte, alimentada com uma tensão vS, tem os resistores de valores conhecidos R1 e R2. R4 é também conhecido, mas é ajustável com uma escala, de forma que seu valor pode ser lido com precisão. Rx é o resistor cuja resistência se deseja determinar.

O voltímetro V (resistência interna Rm) indica a tensão entre os nós v1 e v2. O resistor R4 é ajustado até essa tensão se tornar nula, ou seja, v1 = v2. Se a diferença de potencial entre v1 e v2 é nula, a corrente através de Rm também é nula. Assim, na análise de malhas (1B do tópico anterior), deve-se ter im1 = im2 = im.

$$\begin{pmatrix} R_1+R_2+R_m&-R_m\\ -R_m&R_x+R_4+R_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_m\\ i_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} R_1 i_S\\ R_4 i_S \end{pmatrix}\tag{2A}$$

O sistema de equações (2A) é similar a (1B) do tópico anterior, com substituição dos valores numéricos por símbolos e a igualdade de correntes citada. Isolando im das duas equações,

im = R1 iS / (R1 + R2)
im = R4 iS / (Rx + R4)

Igualando, R1 / (R1 + R2) = R4 / (Rx + R4). Após simplificação, o resultado é:

$$R_x = {R_2 R_4 \over R_1} \tag{2B}$$
Isso significa que, na condição de tensão nula entre v1 e v2, o valor de Rx só depende dos valores dos demais resistores. A medição com ponte de Wheatstone pode apresentar elevada precisão, uma vez que o processo é comparativo, não depende da precisão do voltímetro V, que basicamente deve ter sensibilidade adequada para a indicação de zero. Com uso de tensões alternadas e outros elementos, grandezas como capacitância, indutância e impedância podem ser medidas.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018