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Circuitos Elétricos XII

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Tópicos: Análise de Circuitos por Malhas - Introdução |

1) Análise de Circuitos por Malhas - Introdução

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Este é um outro método sistemático para análise de circuitos resistivos, similar à análise de nós das páginas anteriores. A diferença é sugerida pelo nome: usa a lei das tensões de Kirchhoff no lugar da lei das correntes. O procedimento só é aplicável a circuitos planares.

A Figura 1-I mostra um exemplo. Em (a), há um cruzamento sem interligação, indicado por (*). Esse circuito é planar porque ele pode ser redesenhado no plano, como em (b) da figura, de forma a eliminar cruzamentos sem interligação. Caso contrário, o circuito não é planar e não pode ser resolvido por malhas.

Circuito planar
Fig 1-I

Todo circuito elétrico deve ter pelo menos um laço ou caminho fechado, sem o qual não pode haver corrente circulante. Para estudo inicial do método, será usado o circuito de exemplo da Figura 1-II, que é o mesmo empregado no método nodal anterior. Nesse circuito, é possível identificar três caminhos fechados conforme indicação das linhas tracejadas.

Exemplo de caminhos fechados no circuito
Fig 1-II

Uma malha é considerada um laço que não contém outros. Portanto, no circuito em estudo, apenas m1 e m2 são de interesse. Uma vez identificadas as malhas de cálculo, o passo seguinte é a indicação de correntes para cada malha.

Malhas e correntes
Fig 1-III

Segundo a Figura 1-III, as malhas m1 e m2 têm supostamente as correntes im1 e im2.

É também suposto que as correntes circulam as malhas no sentido horário. Essa convenção é arbitrária, mas, se assim mantida, proporciona uniformidade e facilita a compreensão do método (se o resultado for negativo, o sentido real é oposto).

Agora pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) para cada malha, observadas as convenções de sinais para elementos passivos e ativos. É importante notar que, nos ramos comuns a duas malhas, as correntes são dadas pela soma algébrica das correntes de cada malha.

Malha m1: −vs1 + R1 im1 + R2 (im1 −im2) = 0

Malha m2: R2 (im2 −im1) + R3 im2 + R4 im2 = 0

Essas igualdades formam um sistema de equações lineares de duas incógnitas, que pode ser representado em forma de matrizes.

$$\begin{pmatrix} R_1+R_2&-R_2\\ -R_2&R_2+R_3+R_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{m1}\\ i_{m2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{S1}\\ 0 \end{pmatrix} \tag{1A}$$

Correntes do circuito
Fig 1-IV

Uma vez resolvido esse sistema de equações, as correntes do circuito são facilmente determinadas (ver Figura 1-IV):

i1 = im1
i2 = im1 − im2
i3 = im2

De forma similar à do método de análise nodal, o sistema de equações lineares pode ser generalizado para N malhas.

$$[R] [i_m] = [v_S] \tag{1B}$$
Na forma expandida,

$$\begin{pmatrix}R_{11}&-R_{12}&\cdots&-R_{1N}\\-R_{21}&R_{22}&\cdots&-R_{2N}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\-R_{N1}&-R_{N2}&\cdots&-R_{NN}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_{m11}\\i_{m21}\\\vdots\\i_{mN1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_{S11}\\v_{S21}\\\vdots\\v_{SN1}\\\end{pmatrix} \tag{1C}$$

[R]:  matriz de resistências, N×N simétrica, tal que Rii é a soma das resistências na malha i e Rij é a soma das resistências comuns às malhas i e j.

[im]: matriz das correntes. De coluna, N×1, tal que imi1 = corrente da malha i.

[vS]: matriz de tensões. De coluna, N×1, tal que vSi1 = soma das fontes de tensão na malha i (positivo se corrente da fonte no mesmo sentido da corrente da malha).
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018