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Circuitos Elétricos XI

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Tópicos: Circuito com Fonte de Corrente | Circuito com Fonte de Tensão Flutuante em Série com Resistência | Circuito com Fonte de Tensão Flutuante sem Resistência em Série |

1) Circuito com Fonte de Corrente

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No exemplo da Figura 1-I, os dois nós inferiores equivalem eletricamente a um único, que foi escolhido para referência. A fonte de corrente iS1 é naturalmente considerada na matriz de fontes de corrente, conforme visto na página anterior. Na matriz esquerda de (1A), G indica condutância, ou seja, inverso da resistência.

Exemplo de análise nodal (11)
Fig 1-I

A contribuição da fonte de tensão vS1 é dada pelo termo vS1/R1, ou seja, a conversão em fonte de corrente, conforme mencionado na mesma página. No caso da fonte de corrente iS1, ela está conectada a dois nós desconhecidos v1 e v3. Portanto, sua parcela é positiva em v1 (corrente entrando, iS1) e negativa em v3 (corrente saindo, −iS1).

$$\begin{pmatrix} G_1+G_2+G_4&-G_2& 0\\ -G_2&G_2+G_3+G_5&-G_3\\ 0&-G_3&G_3+G_6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i_{S1}+v_{S1}/R_1\\ 0\\ -i_{S1} \end{pmatrix} \tag{1A}$$

No exemplo da Figura 1-II, o nó n3 é claramente o mais favorável para servir de referência.

Exemplo de análise nodal
Fig 1-II

As fontes de tensão vS1 e vS2 contribuem com as correntes equivalentes 30/6 e 50/5 respectivamente nos nós v1 e v2. A fonte de corrente iS1 atua nesses nós com sinais opostos, de forma similar ao exemplo anterior.

$$\begin{pmatrix} 1/6+1/10+1/15&-1/10\\ -1/10&1/10+1/5\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+30/6\\ -1+50/5\\ \end{pmatrix} \tag{1B}$$

O resultado de (1B) é v1 = 30 V e v2 = 40 V


2) Circuito com Fonte de Tensão Flutuante em Série com Resistência

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No circuito de exemplo da Figura 2-I, qualquer seja o nó de referência escolhido, haverá pelo menos uma fonte de tensão não conectada a ele. Fontes de tensão nessa condição são denominadas flutuantes e, naturalmente, precisam ser consideradas no modelo do sistema de equações lineares.

No mesmo circuito, o nó n4 é o mais conveniente para referência, por ser comum a duas fontes de tensão. Resta, portanto, a fonte flutuante vS1.

Se a fonte flutuante tem uma resistência em série, o melhor caminho é convertê-la em uma fonte de corrente equivalente em paralelo com essa resistência. Assim, o circuito enquadra-se no tipo dos anteriores e pode ser resolvido pelo mesmo método.

Exemplo de análise nodal
Fig 2-I

Na Figura 2-II, o circuito é redesenhado com a conversão de vS1 para ivS1 = 48 / 6000 = 0,008 A ou 8 mA.

Exemplo de análise nodal
Fig 2-II

No sistema de equações (2A), os valores em kΩ do circuito estão diretamente considerados, sem multiplicadores. Desde que estão em ambos os lados, os resultados não são afetados.

$$\begin{pmatrix} 1/6+1/1+1/3&-1/1\\ -1/1&1/4+1/2+1/1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-24/6+15/3\\ -24/4 \end{pmatrix} \tag{2A}$$

É importante notar que, no circuito equivalente da Figura 2-II, a fonte vS2 atua via R1 em v1 e via R3 em v2, conforme pode ser visto na matriz de correntes. O resultado do sistema de equações (2A) é v1 = 6 V e v2 = 0 V


3) Circuito com Fonte de Tensão Flutuante sem Resistência em Série

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No circuito de exemplo da Figura 3-I, se escolhido n4 como referência, a fonte de tensão vS1 fica flutuante, mas não há uma resistência em série conectada somente com ela conforme exemplo anterior. Nesse caso, a fonte pode ser considerada um único nó, denominado supernó.

Exemplo para análise nodal
Fig 3-I

A Figura 3-II reproduz o circuito, com a indicação do supernó v1, formado pelos nós n1 e n5 da figura anterior.

Exemplo para análise nodal - Supernó
Fig 3-II

No sistema de equações em forma matricial (3A), devem ser observadas algumas particularidades para o caso:

• as condutâncias entre v1 e v2 são dadas por R1 e R3. Assim, o termo −(1/10 + 1/2) está presente na matriz das condutâncias.

• a fonte vS1 em conjunto com R3 atua como uma fonte de corrente entre v1 e v2. Portanto, os termos +30/2 e −30/2 estão na matriz das correntes (lado direito).

$$\begin{pmatrix} 1/10+1/5+1/2&-(1/10 + 1/2)\\ -(1/10+1/2)&1/10+1/1+ 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+50/5+30/2\\ 7-30/2 \end{pmatrix} \tag{3A}$$

O resultado do sistema de equações (3A) é v1 = 40 V e v2 = 10 V
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018