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Circuitos Elétricos X

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Tópicos: Análise Nodal de Circuitos - Introdução |

1) Análise Nodal de Circuitos - Introdução

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A análise nodal é um meio sistemático para a solução de circuitos resistivos com fundamento na lei das correntes de Kirchhoff. O circuito simples da Figura 01 pode ser resolvido com auxílio das fórmulas já vistas para associação de resistores, mas aqui será usado para estudo do método.

Circuito para análise nodal
Fig 1-I

O primeiro passo é identificar todos os nós do circuito, que são os pontos de conexão de dois ou mais elementos. Na praxe dos diagramas, nós de dois elementos não são destacados. A Figura 1-II mostra todos eles.

Circuito para análise nodal
Fig 1-II

A próxima etapa é a escolha de um nó de referência, que será considerado de potencial nulo, como se fosse ligado à terra. O nó de referência deve ter o maior número de elementos conectados e, principalmente, o maior número de fontes independentes de tensão. Todas as tensões serão consideradas relativas ao nó de referência. No circuito em questão, o nó n4 é a escolha natural para a referência conforme indicado na Figura 1-II.

O problema é resolvido se as tensões nos nós são conhecidas. O nó n4 tem tensão nula por ser referência. O nó n1, por ser de uma fonte de tensão conectada à referência, tem a própria tensão da fonte. Restam então os nós n2 e n3, de tensões desconhecidas v2 e v3, destacados com (*) na Figura 1-III.

O raciocínio acima permite deduzir que, de forma genérica, o número de nós de tensão desconhecida é n − 1 − m, onde n é o número total e m é o número de fontes de tensão independentes conectadas ao nó de referência.

Circuito para análise nodal
Fig 1-III

Uma vez identificados os nós de tensão desconhecida, o próximo passo é indicar as correntes entre nós, lembrando que os seus sentidos e os lados de maior (+) e de menor (−) potencial devem estar de acordo com a convenção já vista para elementos passivos e ativos. Ver Figura 1-III.

Para facilitar a formulação das equações, é usada condutância no lugar de resistência. Assim, G1 = 1/R1, G2 = 1/R2, etc.

As correntes indicadas podem ser calculadas em função de diferenças de tensões e condutâncias:

i1 = G1 (vS1 − v2)
i2 = G2 v2
i3 = G3 (v2 − v3)
i3 = G4 v3


A lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n2 implica: i1 = i2 + i3. Substituindo, G1 (vS1 − v2) = G2 v2 + G3 (v2 − v3). Ou, reagrupando, G1 v2 + G2 v2 + G3 v2 − G3 v3 = G1 vS1. Simplificando,

$$(G_1 + G_2 + G_3) v_2 - G_3 v_3 = G_1 v_{S1} \tag{1A}$$

Aplica-se agora a LCK no nó n3: i3 = i3. Ou G3 (v2 − v3) = G4 v3. Reagrupando,

$$-G_3 v_2 + (G_3 + G_4) v_3 = 0 \tag{1B}$$
As igualdades (1A) e (1B) formam um sistema de equações lineares, que pode ser representado em termos de matrizes:

$$\begin{pmatrix} G_1+G_2+G_3&-G_3\\ -G_3&G_3+G_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_2\\ v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} G_1 v_{S1}\\ 0 \end{pmatrix} \tag{1C}$$

Desde que as condutâncias G1 a G4 e a tensão vS1 são supostamente conhecidas, o sistema pode ser resolvido e a sua solução, v2 e v3, é a solução do circuito.

O primeiro elemento da matriz direita de (1C) é igual a vS1 / R1. No circuito, a fonte vS1 está em série com R1. Segundo a conversão já vista de fontes, isso equivale a uma fonte de corrente vS1 / R1 em paralelo com uma resistência R1. Então, o circuito é equivalente ao apresentado na Figura 1-IV.

Circuito para análise nodal
Fig 1-IV

Pode-se dizer, portanto, que os elementos da matriz de coluna da direita são as fontes de corrente que entram no nó. O valor é nulo no segundo elemento porque não há fonte para o nó n3 do circuito em estudo.

O sistema anterior pode então ser generalizado com uma igualdade matricial para o caso de N nós de tensão desconhecida:

$$[G] [v] = [i_S] \tag{1D}$$
Ou, na forma explícita,

$$\begin{pmatrix}G_{11}&-G_{12}&\cdots&-G_{1N}\\-G_{21}&G_{22}&\cdots&-G_{2N}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\-G_{N1}&-G_{N2}&\cdots&-G_{NN}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{11}\\v_{21}\\\vdots\\v_{N1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i_{S11}\\i_{S21}\\\vdots\\i_{SN1}\\\end{pmatrix} \tag{1E}$$

[G]:  matriz de condutância, N×N e simétrica, tal que: Gii é a soma das condutâncias conectadas ao nó i e Gij é a soma das condutâncias entre os nós i e j

[v]:  matriz das tensões. De coluna, N×1, tal que vi1 = tensão no nó i

[iS]: matriz de correntes. De coluna, N×1, tal que isi1 = soma das fontes de corrente que entram no nó i
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018