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Circuitos Elétricos VIII

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Tópicos: Teorema de Thévenin e Teorema de Norton |

1) Teorema de Thévenin e Teorema de Norton

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Seja um circuito genérico X de dois terminais de saída, representado por um retângulo em (a) e em (b) da Figura 1-I. Esse circuito é supostamente formado por fontes independentes (pelo menos uma), fontes dependentes e resistores.

• A tensão de circuito aberto entre terminais, vca, é indicada em (a) da figura.

• A corrente de curto-circuito entre terminais, icc, é indicada em (b) da figura.

• A resistência de Thévenin desse circuito é dada pela relação entre ambas:

$$R_{th} = {v_{ca} \over i_{cc} } \tag{1A}$$
Teorema de Thévenin e teorema de Norton
Fig 1-I

• O teorema de Thévenin afirma que esse circuito é equivalente a uma fonte de tensão vca em série com uma resistência Rth, conforme (c) da figura.

• O teorema de Norton estabelece que o circuito é equivalente a uma fonte de corrente icc em paralelo com uma resistência Rth, conforme (d) da figura.

As seguintes relações podem ser deduzidas.

• na equivalência de Thévenin, se a carga drena uma corrente i, a tensão é dada por:

$$v = v_{ca} - R_{th}\ i \tag{1B}$$
• na equivalência de Norton, se a carga fixa uma tensão v, a corrente é dada por:

$$i = i_{cc} - {v \over R_{th}} \tag{1C}$$
Esses teoremas podem ser aplicados na solução de alguns problemas de circuitos que envolvem parâmetros entre dois terminais. Em muitos casos, é útil a conversão de fontes conforme ilustrado na Figura 1-II.

Fontes equivalentes
Fig 1-II

A equivalência dos circuitos é deduzida com os teoremas anteriores e pode ser assim resumida:

• uma fonte de tensão v em série com uma resistência R equivale a uma fonte de corrente i = vR em paralelo com uma resistência R.

• uma fonte de corrente i em paralelo com uma resistência R equivale a uma fonte de tensão v = R i em série com uma resistência R.


No exemplo da Figura 1-III (a), uma fonte de tensão vS alimenta uma resistência de carga RL via divisor de tensão formado por R1 e R2. Dados esses parâmetros, deseja-se saber a tensão e corrente na carga, vRL e iRL.

Deve-se notar que a fórmula vista em página anterior para divisor de tensão não considera corrente de carga. Assim, quando se aplica uma resistência real RL, a tensão é menor que a calculada pela fórmula mencionada.

Para a solução com o teorema de Thévenin, consideram-se terminais na resistência RL. Assim, a parte (b) da figura mostra a tensão de circuito aberto, que é calculada pela fórmula do divisor de tensão porque não há corrente:

vca = vS R1 / (R1 + R2)

Aplicação do teorema de Thévenin
Fig 1-III

A corrente de curto-circuito é vista em (c) da figura: icc = vS / R2. E a resistência de Thévenin é dada por:

Rth = vca / icc = R1 R2 / (R1 + R2)

A parte (d) da mesma figura mostra o equivalente de Thévenin para o circuito. E a corrente da carga é calculada por:

(Rth + RL) iRL = vca. Substituindo os valores anteriores,

[

R1 R2 / (R1 + R2) + RL

]

iRL = vs R1 / (R1 + R2)


Portanto, a corrente iRL é calculada a partir dos parâmetros supostamente conhecidos e a tensão é vRL = RL iRL.


Para o exemplo da Figura 1-IV, pode-se determinar os parâmetros de Thévenin em função da tensão vS1, da fonte S1. Considerando-se os terminais 1 e 2 abertos, a corrente em R1 é calculada com uso da LTK (lei das tensões de Kirchhoff) no laço S1, R1 e R2:

− vS1 + 200 iR1 + vR2 = 0. Portanto, iR1 = (vS1 − vR2) / 200. A corrente em R2 é iR2 = vR2 / 2000

A corrente em R3 é calculada com o uso da LTK no laço limitado pelos nós n1, n2, n3 e n4:

− vR2 + 1900 iR3 + 100 iR3 − 98 vR2 = 0. Portanto, iR3 = 99 vR2 / 2000


Fig 1-IV

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n1 implica iR1 = iR2 + iR3. Substituindo,

(vS1 − vR2) / 200 = vR2 / 2000 + 99 vR2 / 2000. Assim, vR2 = vS1 / 11

E a tensão de circuito aberto é a soma da queda de tensão em R4 com a tensão de S2. Desde que não há corrente entre 1 e 2, a corrente em R4 é igual à corrente em R3:

vca = 100 iR3 − 98 vR2 = 100 × 99 vR2 / 2000 − 98 vR2
vca = − 93,05 vR2 = − 93,05 vS1 / 11 ≈ − 8,46 vS1

A Figura 1-V (a) mostra a situação com os terminais 1 e 2 em curto-circuito. A corrente em R1 tem a mesma expressão anterior:

iR1 = (vS1 − vR2) / 200

Exemplo para teorema de Thévenin
Fig 1-V

A corrente em R2 é também iR2 = vR2 / 2000

A tensão em R3 é a mesma de R2, ou seja, vR2. Portanto, a corrente é iR3 = vR2 / 1900

De forma similar à situação anterior, a lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n1 resulta em:

iR1 = iR2 + iR3. Substituindo os valores anteriores,

(vS1 − vR2) / 200 = vR2 / 2000 + vR2 / 1900. Resolvendo, vR2 = 190 vS1 / 229

A corrente em R4 é obtida pela LTK no laço n2, 1, 2 e n3: 100 iR4 − 98 vR2 = 0 ou iR4 = 98 vR2 / 100

Aplica-se agora a LCK no nó n2: iR3 = iR4 + icc. Substituindo, vR2 / 1900 = 98 vR2 / 100 + icc

Resolvendo, icc ≈ − 0,98 vR2. Substituindo o valor de vR2, obtém-se:

icc ≈ − 0,98 190 vS1 / 229 = − 0,813 vS1

Portanto, o circuito é equivalente a (b) da Figura 1-IV, com:

vca ≈ − 8,46 vS1

Rth = vca

/

icc = − 8,46 vS1

/

(− 0,813 vS1) ≈ 10,4 Ω

Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018