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Circuitos Elétricos VI

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Tópicos: Conversão Δ-Y e Y-Δ | Fontes: Associações e Condições Reais |

1) Conversão Δ-Y e Y-Δ

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No lado esquerdo da Figura 01, três resistores estão ligados em Δ (ou triângulo). Deseja-se saber os valores para a configuração Y (ou estrela) equivalente.

Transformação Delta-Y
Fig 1-I

A resistência entre os pontos A e B deve ser igual à resistência entre a e b (de forma similar para os demais pares de pontos):

RAB || (RBC + RCA) = Ra + Rb
RBC || (RAB + RCA) = Rb + Rc
RCA || (RAB + RBC) = Rc + Ra

Expandindo as igualdades anteriores e resolvendo o sistema de equações, o resultado é:

$$R_a = {R_{AB} R_{CA} \over R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}\\R_b = {R_{AB} R_{BC} \over R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}\\R_c = {R_{BC} R_{CA} \over R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}} \tag{1A}$$
Na transformação inversa, isto é, Y-Δ conforme Figura 1-II, procedimento similar pode ser adotado.

Transformação Y-Delta
Fig 1-II

$$R_{AB} = {R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a \over R_c}\\R_{BC} = {R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a \over R_a}\\R_{CA} = {R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a \over R_b} \tag{1B}$$

2) Fontes: Associações e Condições Reais

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Fontes de tensão ou de corrente podem ser associadas para formar conjuntos de maior capacidade, mas há restrições que devem ser observadas.

Fontes de tensão em série resultam numa fonte com tensão igual à soma das tensões individuais. No exemplo da Figura 2-I, a associação (a) é equivalente à fonte (b) com:

v = v1 − v2 + v3

A soma deve ser algébrica, ou seja, uma fonte em oposição (2 no exemplo) reduz a tensão total.

Fontes de tensão em série
Fig 2-I

Associações em série de fontes de tensão são comuns na prática. Baterias são geralmente formadas por células individuais ligadas em série.

A ligação em paralelo de fontes de tensão só é viável se elas forem iguais. Se fontes diferentes forem associadas em paralelo, haverá correntes entre elas, com efeitos geralmente prejudiciais.

Fontes de corrente podem ser associadas em paralelo. No exemplo da Figura 2-II, o conjunto paralelo (a) equivale a uma fonte (b) com:

i = i1 − i2 + i3

De forma similar à fonte de tensão, o elemento invertido reduz a corrente do conjunto.

Fontes de corrente em paralelo
Fig 2-II

A ligação em série de fontes de corrente tem restrições semelhantes à ligação em paralelo de fontes de tensão. Só deve ser feita com elementos idênticos.

Fontes reais de tensão e de corrente

Em primeira aproximação (na realidade, há mais diferenças), uma fonte de tensão real pode ser considerada uma fonte ideal de tensão vs em série com uma resistência Rs, denominada resistência interna da fonte. Ver (a) da Figura 2-III. Assim, se o circuito a alimentar tem uma resistência equivalente RL, a tensão v é dada por

v = vS − RS i

Portanto, a tensão diminui com o aumento da corrente. O gráfico de (b) da mesma figura mostra curvas típicas para as situações descritas:

(1) fonte ideal: tensão constante, independente da corrente.
(2) aproximação para fonte real conforme relação anterior: variação linear da tensão.
(3) possível característica para uma fonte real: variação não linear.

Nota-se que uma fonte de tensão ideal teria resistência interna nula. Assim, uma fonte de tensão real deve ter a menor resistência interna possível.

Fontes reais de tensão e de corrente
Fig 2-III

De forma similar, uma fonte de corrente real pode ser considerada aproximadamente igual a uma ideal com uma resistência em paralelo conforme (c) da Figura 2-III. Então, a corrente na carga é dada por:

i = iS − v / RS

Ou seja, a corrente diminui com o aumento da tensão. O gráfico em (d) da figura exibe curvas similares às anteriores, com as devidas adaptações para correntes. Uma fonte de corrente ideal teria resistência interna infinita e, portanto, uma fonte real deve ter a maior resistência possível.

Fontes de correntes práticas são mais difíceis de implementar, mas uma aproximação simples é possível. O circuito da Figura 2-IV é o anterior para a fonte de tensão. Na relação também vista, v = vS − RS i, pode-se substituir v por RL i. E o resultado após simplificação é i = vS / (RS + RL)

Fazendo k = RL / RS e substituindo,

i = vS /

[

RS (1 + k)

]



Fonte de tensão com resistência interna
Fig 2-IV

Assim, se a resistência interna da fonte é muito grande em relação à da carga, (RS >> RL), tem-se k ≈ 0 e a corrente é dada por:

i ≈ vS

/

RS


Ou seja, a corrente é aproximadamente constante, simulando uma fonte de corrente. Entretanto, a aplicação prática é limitada devido à perda de potência no resistor e à necessidade de tensões altas de vS para operar com circuitos usuais.
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018