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Circuitos Elétricos V

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Tópicos: Associação de Resistores | Divisor de Tensão e Divisor de Corrente | Exemplos de Associação de Resistores |

1) Associação de Resistores

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Na Figura 1-I, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em série. Pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o laço único do circuito:

− v + R1 i + R2 i + R3 i = 0. Reagrupando a igualdade, ( R1 + R2 + R3 ) i = v

A expressão entre parênteses é a resistência equivalente, que faz o mesmo efeito dessa combinação.

Resistores em série
Fig 1-I

Generalizando, pode-se dizer que a resistência equivalente de uma combinação de n resistências em série é dada pela soma:

$$R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n \tag{1A}$$
No exemplo da Figura 1-II, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em paralelo. A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff nos nós a e b permite o resultado:

i = i1 + i2 + i3

Desde que cada resistor está sob a mesma tensão v, a corrente é a relação entre essa tensão e o valor da sua resistência:

i = v/R1 + v/R2 + v/R3. Reagrupando, v =

[

1/( 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 )

]

i


Resistências em paralelo
Fig 1-II

O termo entre colchetes é a resistência equivalente dessa associação. Generalizando, a resistência equivalente para uma associação de n resistências em paralelo é dada por:

$${1 \over R_{eq}} = {1 \over R_1} + {1 \over R_2} + \cdots + {1 \over R_n} \tag{1B}$$
Para o caso particular de dois resistores em paralelo, a fórmula abaixo pode ser facilmente deduzida:

$$R_1 \parallel R_2 = R_{eq} = {R_1 R_2 \over R_1 + R_2} \tag{1C}$$
As duas barras verticais indicam o resultado aritmético da associação em paralelo, conforme usado em várias referências.

Associações mistas de resistores podem ser, em geral, resolvidas por partes.

Associação mista de resistores
Fig 1-III

No exemplo da Figura 1-III, as etapas são:

Rfg = R5 || R6

Reg = R4 + Rfg

E o resultado final é: Rab = R1 + (R3 || Reg) + R2


2) Divisor de Tensão e Divisor de Corrente

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Divisor de tensão é um arranjo simples de resistores em série, bastante utilizado em circuitos eletrônicos, para fornecer tensões contínuas inferiores ao valor da tensão da fonte.

No exemplo da Figura 2-I, a resistência equivalente entre 0 e 3 é dada por:

Req = R1 + R2 + R3

Portanto, a corrente i é calculada por:

i = v / (R1 + R2 + R3)

Divisor de tensão
Fig 2-I

Assim,

v1 = i R1 = v R1 / (R1 + R2 + R3)

v2 = i (R1 + R2) = v (R1 + R2) / (R1 + R2 + R3)

v3 = i (R1 + R2 + R3) = v (R1 + R2 + R3) / (R1 + R2 + R3) = v

Procedimento similar pode ser feito para qualquer número de resistores. Se o conjunto de resistores em série for substituído por um variável, a saída será ajustável de 0 a v. Esses cálculos não consideram a corrente do circuito a alimentar. Assim, os valores reais serão menores que os calculados. Devido à dissipação de energia nos resistores, a solução não é adequada para altas potências.

Um divisor de corrente usa uma fonte de corrente e resistores em paralelo conforme exemplo de três resistores da Figura 2-II (a). Conforme visto em tópico anterior, a resistência equivalente dessa associação é:

1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3. Ou, simbolicamente,

Req = R1 || R2 || R3

Divisor de corrente
Fig 2-II

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff permite a fácil dedução da corrente em cada:

i1 = (Req / R1) i

E de forma similar para as demais. Naturalmente, o cálculo pode ser estendido para qualquer número de resistores.

No caso particular de 2 resistores conforme (b) da Figura 2-II, a resistência equivalente é Req = R1 R2 / (R1 + R2). Substituindo e simplificando na fórmula anterior,

i1 = i R2 / (R1 + R2)
i2 = i R1 / (R1 + R2)


3) Exemplos de Associação de Resistores

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No exemplo da Figura 3-I, é suposto que a formação do circuito se repete infinitamente. Considerando o valor de cada resistor 1 Ω, determinar a resistência equivalente entre os pontos a e b.

Associação infinita de resistores
Fig 3-I

Seja R a resistência entre a e b. Se o circuito for cortado em CC', a resistência do restante é também R, uma vez que a formação é repetida até o infinito. Então, a resistência entre a e b (R) é igual à associação de uma resistência de 1 Ω em série com uma associação paralela de 1 Ω com R:

R = 1 + (1 || R) = 1 + 1 × R / (1 + R). Reagrupando e simplificando a igualdade,

R2 − R − 1 = 0

O resultado é a raiz positiva dessa equação do segundo grau, R ≈ 1,618 Ω

No exemplo da Figura 3-II, resistores de 1 Ω são dispostos em um arranjo espacial, nas arestas de um cubo. Determinar a resistência entre vértices opostos (exemplo: a e g).

Resistores em um cubo
Fig 3-II

Provavelmente, o problema pode ser resolvido com a planificação do circuito e a aplicação das leis de Kirchhoff. Mas a simetria do caso sugere um meio mais simples. Seja uma corrente de 6 A aplicada entre os vértices a e g. Desde que os resistores têm o mesmo valor, ela é dividida igualmente nas três arestas que partem de cada vértice:

iab = iad = iae = ihg = ifg = icg = 2 A

Em vértices intermediários (por exemplo, d) a corrente é dividida por dois:

idc = idh = iad / 2 = 1 A

Escolhe-se agora um caminho qualquer entre a e g. Exemplo: ad, dh e hg. E as respectivas correntes já foram deduzidas:

iad = 2 A
idh = 1 A
ihg = 2 A

A queda de tensão entre a e g é a soma das quedas de cada parte:

vag = vad + vdh + vhg = 1 × 2 + 1 × 1 + 1 × 2 = 5 V

Desde que iag = 6 A conforme premissa, Rag = vag / iag = 5/6 Ω
Referências
Brophy, James J. Basic Electronics for Scientists. McGraw-Hill, 1977.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.
Halliday, David. Resnik, Robert. Física. Rio, Ao Livro Técnico, 1970.
Hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
US Navy. Basic Electronics. Hemus, 1976.

Topo | Rev: Abr/2018