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Probabilidades e Estatística VII-0: Apêndices 1 e 2

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Tópicos: Diagrama de Lexis | Considerações Elementares sobre Seguros de Vida


1) Diagrama de Lexis

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Desenvolvido pelo economista, estatístico e matemático alemão Wilhelm Lexis (1837-1914), é uma forma gráfica de representar dados demográficos em função de momento, idade e coorte. A Figura 1-I dá um exemplo hipotético e os próximos itens descrevem as partes em destaque.

No diagrama de Lexis, o eixo horizontal indica anos do calendário e o eixo vertical, idades. As linhas inclinadas de 45° referem-se ao grupo de pessoas que compartilham o mesmo ano de nascimento, também denominado geração ou coorte.

Diagrama de Lexis
Fig 1-I

Nos exemplos do diagrama, os símbolos (A, B ...) podem ser números que indicam acontecimentos como óbitos ou outros que forem aplicáveis.

• A: indivíduos da geração 1995 observados em 1998 (2 e 3 anos completos).

• B: indivíduos com 6 anos completos em 01/01/2002 (geração 1996).

• C: indivíduos da geração 1998 com 5 anos completos (observação em 2 anos, 2002 e 2003).

• D: pessoas da geração 2000 observadas em 2002 e com 2 anos completos.

• E: pessoas com 3 anos completos observadas em 2001 (gerações 1997 e 1998).

• F: pessoas que completaram o segundo aniversário em 2000 (geração 1998).


2) Considerações Elementares sobre Seguros de Vida

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A questão básica de seguros em geral é saber o valor monetário atual de um valor monetário aleatório que será pago em um tempo futuro também aleatório. Consideram-se então:

i: taxa de juros por período
BT: valor monetário
T: número de períodos

Da matemática financeira, o valor monetário atual é:

$$B_T \ \nu^T \tag{2A}$$
Onde ν é o fator de desconto:

$$\nu = (1 + i)^{-1} \tag{2B}$$
No contexto de uma seguradora, se Z é o valor atual dos pagamentos que serão feitos aos segurados, a esperança E(Z) é o parâmetro ideal para estimar a situação financeira, uma vez que representa a média atual dos pagamentos futuros. Seja a esperança do valor monetário atual:

$$E [B_T \ \nu^T] \tag{2C}$$
Portanto, a esperança pode ser considerada o prêmio único puro de um seguro de vida que paga ao segurado um benefício BT se a morte ocorre num tempo T. O prêmio único puro é, portanto, o valor que esse segurado deve pagar para ter a cobertura no futuro, sem incluir os demais custos e a remuneração do capital da seguradora.

É comum, na área de seguros, considerar os valores B unitários, para posterior multiplicação pelos valores desejados. Os próximos itens apresentam fórmulas de cálculo para valores atuais de alguns tipos de seguro de vida (Z é a variável aleatória do valor atual do benefício e T(x) é o tempo de vida futura de uma pessoa de idade x conforme página anterior).

Seguro simples para n anos: o segurado recebe uma unidade monetária se estiver vivo após n anos:

$$Z=0 \textrm{ se } T(x) < n \ \ \ P[Z=0] = _nq_x \tag{2D}$$
$$Z=\nu^n \textrm{ se } T(x) \geq n \ \ \ P[Z=\nu^n] = _np_x \tag{2E}$$

A esperança de Z é:

$$A^1_{x:n} = E(Z) = _nE_x = \nu^n \ _np_x \tag{2F}$$
Seguro para toda a vida: uma unidade monetária é paga ao final do ano da morte do segurado, atualmente na idade x.

A probabilidade de uma pessoa com idade x morrer entre (x + k) e (x + k + 1), que deve ser igual à probabilidade de viver mais k anos multiplicada pela de morrer no ano seguinte, é dada por:

$$_{k|}q_x = _kp_x \ q_{x+k} = d_{x+k} / \ell_x \tag{2G}$$
Z é o valor presente de uma unidade monetária paga em T(x) + 1 anos: $Z = \nu^{T(x)+1}$. Então,

$$P[Z=\nu^{k+1}] = _{k|}q_x = _kp_x \ q_{x+k} \tag{2H}$$
E a esperança é:

$$A_x = E[Z] = \sum_{k=0}^{\omega-x-1} \nu^{k+1} \ _kp_x \ q_{x+k} \tag{2I}$$

Considerando as relações de (2G),

$$A_x = \frac{\sum \nu^{k+1} d_{x+k}}{\ell _x} = \frac{\sum \nu^{x+k+1} d_{X+k}}{\nu^X \ell _x}$$
$$A_x = \frac {\nu^{x+1} d_x + \nu^{x+2} d_{x+1} + \cdots} {\nu^x \ell_x} \tag{2J}$$
Definem-se:

$$C_x = \nu^x \ell_x \ \textrm{ e }\ D_x = \nu^{x+1} d_x \tag{2K}$$
Assim,

$$A_x = [D_x + D_{x+1} + \cdots] / C_x \tag{2L}$$
Define-se também:

$$M_x = D_x + D_{x+1} + \cdots \tag{2M}$$
Substituindo na anterior,

$$A_x = M_x / C_x \tag{2N}$$
As funções Cx, Dx, Mx são denominadas funções de comutação e podem ser vistas em tabelas.

Supõe-se agora que o prêmio é pago em parcelas anuais antecipadas (no início de cada ano) enquanto o segurado viver. Da matemática financeira, o valor atual de uma série antecipada de pagamentos unitários é:

$$\ddot{a}_n = (1-\nu^n)/d \tag{2O}$$
Onde:

$\nu = (1 + i)^{-1}$
$d = 1 - \nu$
i: taxa de juros
n: número de anos

Se uma pessoa de idade x compra uma apólice nessa condição, ela pagará parcelas no início de cada ano enquanto viver. Haverá então T(x) + 1 pagamentos. Assim, o valor atuarial será a esperança do valor dado em 2O, com T(x) + 1 no lugar de n (ver dedução de 2H):

$$\ddot{a}_x = E\bigg[\frac{1-\nu^{T(x)+1}}{d} \bigg] = \frac{1-A_x}{d} \tag{2P}$$

A igualdade acima dá a relação entre o prêmio único puro e o valor atual da série de pagamentos de um seguro para toda a vida.

Exemplo: uma determinada agremiação oferece, a uma pessoa de 60 anos, uma proposta de sócio permanente com duas opções: pagamento único de 1.000,00 ou pagamentos anuais antecipados de 100,00 enquanto viver. Determinar a melhor opção para essa pessoa, considerando A60 = 0,37 e juros de 6% ao ano.

Solução: i = 6/100 = 0,06. Também d = 1 − 1 / (1 + i) ≈ 0,0566. Usando (2P), o valor atual é 100 (1 − 0,37) / 0,0566 ≈ 1.113,07. O pagamento único é a melhor opção.
Referências
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
LONDON, Dick. Survival Models and Their Estimation.
VEEH, Jerry Alan. Lecture Notes on Actuarial Mathematics.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2018