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Probabilidades e Estatística VII-0: Tábua de Mortalidade

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Tópicos: Modelo | Tabela de Mortalidade

O propósito desta página é apenas mostrar algumas aplicações de conceitos básicos de probabilidades e estatística na área atuarial, isto é, a parte da matemática que trata de aspectos relacionados a seguros e similares.


1) Modelo

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Seja T(x) uma variável aleatória que indica o tempo de vida futura de uma pessoa com idade x. Então, a probabilidade de essa pessoa viver até a idade futura t é dada pela função de distribuição:

$$F_x(t) = P(\ T(x)\leq t \ ) \tag{1A}$$
A função de sobrevivência, Sx(t), é a probabilidade de viver além da idade futura t. Deve ser o complemento da anterior:

$$S_x(t) = P(\ T(x) > t \ ) = 1 - F_x(t) \tag{1B}$$

Caso particular importante: x = 0 (pessoa recém-nascida). Portanto, T(0) refere-se ao tempo total de vida da pessoa.


Exemplo 1-I: determinar a probabilidade de uma pessoa viver entre 65 e 75 anos supondo a função $F_0(t) = 1 - \mathrm{e}^{-0,008 t}$. Solução: deve ser aplicada uma das propriedades da função de distribuição, vistas em página anterior:

$P(65 \leq T(0) < 75) = F_0(75) - F_0(65)\\ = \mathrm{e}^{-0,52} -\mathrm{e}^{-0,6} = 0,046$


Para T(x) ≤ t, deve-se ter T(0) ≤ x + t e também T(0) > x. E o conceito de probabilidade condicional pode relacionar as fórmulas: Fx(t) = P( T(x) ≤ t ) = P( T(0) ≤ x + t | T(0) > x ) = Fx(t) = P( x < T(0) ≤ x + t ) / P( T(0) > x ). Portanto,

$$F_x(t) = \frac{F_0(x+t)-F_0(x)}{1-F_0(x)} \tag{1C}$$
Usando procedimento similar para a função de sobrevivência,

$$S_x(t) = \frac{S_0(x+t)}{S_0(x)} \tag{1D}$$
De outra forma,

$$S_0(x+t) = S_0(x) S_x(t) \tag{1E}$$
Relações de Função de Sobrevivência
Fig 01

A Figura 01 dá uma interpretação gráfica da relação anterior.


Notação atuarial

Em matemática atuarial os parâmetros abaixo relacionados são usuais, lembrando que a notação (x) significa uma pessoa com idade x.

• Probabilidade de (x) sobreviver pelo menos t anos:

$$_tp_x = S_x(t) = P(T(x)>t) \tag{1F}$$
• Probabilidade de (x) morrer durante os t anos seguintes:

$$_tq_x = F_x(t) = P(T(x) \leq t) \tag{1G}$$
Dos conceitos de probabilidade, pode-se concluir que

$$_tp_x + _tq_x = 1 \tag{1H}$$
No caso particular de t = 1, o seu valor é usualmente omitido na notação. Assim,

• Probabilidade de (x) sobreviver pelo menos 1 ano:

$$p_x = S_x(1) = P( T(x) > 1) \tag{1I}$$
• Probabilidade de (x) morrer durante o ano seguinte:

$$q_x = F_x(1) = P( T(x) \leq 1) \tag{1J}$$
A fórmula seguinte é decorrente da igualdade (1E):

$$_{(x+t)}p_0 = _xp_0 \ _tp_x \tag{1K}$$

2) Tabela de Mortalidade

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Seja uma idade inicial α (em vários casos, α = 0) e um número inicial arbitrário (raiz) ℓα de pessoas sobreviventes para essa idade. Para x ≥ α, o número ℓx é definido por:

$$\ell_x = _{(x-\alpha)}p_\alpha \ \ell_\alpha \tag{2A}$$
Da igualdade (1K) do tópico anterior (com α no lugar do 0),

$$_{(x-\alpha+t)}p_\alpha = _{(x-\alpha)}p_\alpha \ _tp_x \tag{2B}$$
Multiplicando ambos os lados por ℓα,

$$_{(x-\alpha+t)}p_\alpha \ \ell_\alpha= _{(x-\alpha)}p_\alpha \ \ell_\alpha \ _tp_x \tag{2C}$$
Portanto,

$$\ell_{(x+t)} = \ell_x \ _tp_x \ \textrm{ou} \ _tp_x = \frac{\ell_{(x+t)}}{\ell_x} \tag{2D}$$
De (1H) do tópico anterior,

$$_tq_x = 1 - _tp_x \tag{2E}$$
Na maioria dos casos, é estabelecida uma idade-limite ω, a partir da qual não há sobrevivência. Portanto,

$$_tp_x = 0 \ \textrm{para}\ t \geq (\omega - x) \tag{2F}$$
$$\ell_u = 0 \ \textrm{para}\ u \geq \omega \tag{2G}$$
Exemplo 2-I: montar uma tabela para ℓ20 = 100000   p20 = 0,98   2p20 = 0,95   3p20 = 0,91. Solução: segundo (2B),

21 = ℓ20  p20 = 100000 0,98 = 98000
22 = ℓ20 2p20 = 100000 0,95 = 95000
23 = ℓ20 3p20 = 100000 0,91 = 91000

Os valores acima são organizados na tabela a seguir.

Tabela 01
x x dx
20 100000 2000
21 98000 3000
22 95000 4000
23 91000


O parâmetro dx é definido como:

$$d_x = \ell_x - \ell_{(x+1)} \tag{2H}$$
Considerando (2A) e (2E) do tópico anterior, chega-se a:

$$d_x = \ell_x (1-p_x) = \ell_x q_x \tag{2I}$$
Para o exemplo anterior,

d20 = 100000 − 98000 = 2000
d21 = 98000 − 95000 = 3000
d22 = 95000 − 91000 = 4000

Esses valores estão indicados na Tabela 01. Portanto, os parâmetros anteriores podem ser assim definidos:

x: número de sobreviventes na idade x.

dx: número de indivíduos, entre os ℓx sobreviventes, que morrem até a idade x + 1.

A seguir, informações resumidas sobre outros parâmetros comuns das tabelas.

Tempo vivido das ℓx pessoas do ano x para x + 1:

$$L_x \approx (\ell_x + \ell_{x+1}) / 2 \tag{2J}$$
Tempo total de vida futura ou quantidade de existência das ℓx pessoas:

$$K_x = L_x + L_{x+1} + L_{x+2} + \cdots \tag{2K}$$
Taxa central de mortalidade:

$$m_x = d_x / L_x \tag{2L}$$
Esperança completa de vida:

$$^0e_x = K_x / \ell_x \tag{2M}$$
Tabela 02
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
x x dx px qx Lx Kx oex
0 100000 577 0,99423 0,00577 99497 8089412 80,89
1 99423 45 0,99955 0,00045 99399 7989915 80,36
2 99378 30 0,99970 0,00030 99363 7890516 79,40
3 99348 24 0,99976 0,00024 99336 7791153 78,42
4 99324 18 0,99982 0,00018 99314 7691817 77,44
5 99306 14 0,99986 0,00014 99300 7592503 76,46
6 99292 13 0,99987 0,00013 99285 7493203 75,47
7 99279 12 0,99988 0,00012 99273 7393918 74,48
8 99267 11 0,99989 0,00011 99262 7294645 73,48
9 99256 11 0,99989 0,00011 99250 7195383 72,49
10 99245 13 0,99988 0,00012 99238 7096133 71,50
11 99232 11 0,99988 0,00012 99227 6966895 70,51
12 99221 16 0,99984 0,00016 99213 6897668 69,52
13 99205 19 0,99981 0,00019 99196 6798455 68,53
14 99186 23 0,99977 0,00023 99175 6699259 67,54

Exemplo 2-II: a partir dos dados da Tabela 02, determinar:

• A probabilidade de um recém-nascido sobreviver aos 8 anos: deve ser dada por S0(8) ou 8p0 na notação atuarial. Conforme (2D),

8p0 = ℓ8 / ℓ0 = 99267 / 100000 = 0,99267

• A probabilidade de um recém-nascido morrer entre 8 e 9 anos: deve ser igual à probabilidade de sobreviver aos 8 anos (8p0) multiplicada pela de morrer durante o próximo (q8). Considerando (2D) e (2I),

8p0 . q8 = (ℓ8 / ℓ0) (d8 / ℓ8) = d8 / ℓ0 = 11 / 100000 = 0,00011

• A probabilidade de uma pessoa de 8 anos sobreviver aos 11 anos: dever ser 3p8, que, segundo (2D), é calculada por:

3p8 = ℓ8+3 / ℓ8 = 99232 / 99267 ≈ 0,99965

• A probabilidade de uma pessoa de 8 anos morrer entre 11 e 13 anos: deve ser igual à probabilidade de sobreviver aos 11 anos (3p8) multiplicada pela de, aos 11, morrer nos próximos 2 anos (2q11 ou 1 − 2p11). Portanto,

(ℓ11 / ℓ8)(1 − ℓ13 / ℓ11) = (ℓ11 − ℓ13)/ℓ8 = (99232 − 99205)/99267 ≈ 0,00027
Referências
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
LONDON, Dick. Survival Models and Their Estimation.
VEEH, Jerry Alan. Lecture Notes on Actuarial Mathematics.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2018