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Probabilidades e Estatística IV-10

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Tópicos: Teste de Hipóteses - Introdução |


1) Teste de Hipóteses - Introdução

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Sejam as premissas:

• θ: parâmetro de valor desconhecido
• Ω: conjunto de todos os valores possíveis (domínio) de θ
• Ω0 e Ω1: subconjuntos de Ω tais que $\Omega_0 \cup \Omega_1 = \Omega$ e $\Omega_0 \cap \Omega_1 = \emptyset$

Sejam as hipóteses:

• H0 (hipótese nula): $\Theta \in \Omega_0$
• H1 (hipótese alternativa): $\Theta \in \Omega_1$

O teste de hipóteses significa decidir a aceitação de H0 ou a aceitação de H1.

Tabela 1-I
Descrição H0 verdadeira H0 falsa
Probabilidade de aceitar H0 1 − α β
Probabilidade rejeitar H0 α 1 − β

1 − α: nível de confiança do teste.
1 − β: poder do teste.

Indicadores das probabilidades de erros conforme Tabela 1-I:

• Erro tipo I ocorre se H0 é rejeitada quando, na realidade, é verdadeira. A probabilidade desse erro (α) é denominada nível de significância do teste.

• Erro tipo II ocorre se H0 é aceita quando H1 é verdadeira. O parâmetro β é a probabilidade da sua ocorrência.

I-1) Teste para a média de uma população com desvio-padrão conhecido

Sejam: n tamanho da amostra, $\overline X$ média da amostra, μ0 média da população, μ média a testar da população, σ desvio-padrão. As hipóteses a testar são:

$$H_0: \mu = \mu_0 \\ H_1: \mu \neq \mu_0 \tag{1A}$$
A variável abaixo tem distribuição normal padrão.

$$Z = \frac{\overline X - \mu_0}{\sigma \big/ \sqrt n} \sim N(0,1) \tag{1B}$$
Considerando 1 − α o coeficiente de confiança do teste, aceita-se H0 se:

$$-z_{\alpha/2} \leq Z \leq +z_{\alpha/2} \text{ ou } |Z| \leq z_{\alpha/2} \tag{1C}$$
Rejeita-se H0 se:

$$|Z| > z_{\alpha/2} \tag{1D}$$
I-2) Teste para a média de uma população com desvio-padrão desconhecido

Sejam: n tamanho da amostra, $\overline X$ média da amostra, μ0 média da população, μ média a testar da população, s desvio-padrão da amostra. As hipóteses a testar são:

$$H_0: \mu = \mu_0 \\ H_1: \mu \neq \mu_0 \tag{1E}$$
A variável T abaixo deve ter distribuição t-student com n − 1 graus de liberdade.

$$T = \frac{\overline X - \mu_0}{s \big/ \sqrt n} \sim t(n-1) \tag{1F}$$
Considerando 1 − α o coeficiente de confiança do teste, aceita-se H0 se:

$$|T| \leq t_{\alpha/2, n-1} \tag{1G}$$
Rejeita-se H0 se:

$$|T| > t_{\alpha/2, n-1} \tag{1H}$$
Exemplo I-1: uma máquina de encher garrafas está ajustada para o volume de 500 ml, com desvio-padrão conhecido de 20 ml. O procedimento de controle estatístico mede, em intervalos regulares, o volume de lotes de 16 garrafas enchidas. Com um nível de confiança de 99%, verificar se a máquina deve ser regulada se for constatado um lote com média de 492 ml.

Solução: este é o caso I-1 anterior. Os dados conhecidos são:

n = 16
μ0 = 500 ml
σ = 20 ml
1 − α = 0,99 ou α/2 = 0,005
$\overline X$ = 492 ml

O valor da variável aleatória é Z = (492 − 500) / (20/√16) = −1,6. As hipóteses são:

$$H_0:\quad \mu = 500\ \text{ml}\\H_1:\quad \mu \neq 500\ \text{ml}$$
Segundo tabela da distribuição normal padrão, z0,005 ≈ 2,58. Desde que |Z| < z0,005, a hipótese H0 deve ser aceita conforme (1C) e a máquina não precisa ser regulada.

Exemplo I-2: a concentração máxima permitida para determinado poluente em efluentes líquidos é supostamente 30 mg/l. A análise de 25 amostras do efluente de uma indústria resultou em média 31,5 mg/l e desvio-padrão 3 mg/l. Sob o nível de confiança de 95%, verificar se essa indústria atende ao padrão estabelecido.

Solução: este é o caso I-2 anterior. Os dados conhecidos são:

n = 25
μ0 = 30 mg/l
s = 3 mg/l
1 − α = 0,95 ou α/2 = 0,025
$\overline X$ = 31,5 mg/l

Segundo (1F), o valor da variável aleatória é T = (31,5 − 30) / (3/√25) = 2,5. As hipóteses a considerar são:

$$H_0:\quad \mu = 30\ \text{mg/l}\\H_1:\quad \mu \neq 30\ \text{mg/l}$$
Segundo tabela da distribuição t-student, t0,025|24 ≈ 1,71. Desde que |T| > t0,025|24, pode-se afirmar que, no nível de confiança de 95%, a indústria não atende ao limite de emissão do poluente.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2018