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Probabilidades e Estatística III-58

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Tópicos: Distribuição F | Tabelas da Distribuição F |


1) Distribuição F

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Também denominada distribuição F de Snedecor ou distribuição Fisher-Snedecor, encontra aplicações em alguns testes estatísticos como Análise de Variância. Consideram-se as variáveis aleatórias U e V tais que:

• U e V são independentes
• U tem distribuição χ2 com α graus de liberdade
• V tem distribuição χ2 com β graus de liberdade

Define-se uma nova variável aleatória X tal que:

$$X = \frac{U / \alpha}{V / \beta} \tag{1A}$$
Então X é dita ter distribuição F com α e β graus de liberdade ou $X \sim F(\alpha, \beta)$. A figura abaixo dá curvas aproximadas das funções de distribuição acumulada e de densidade de probabilidades para α = 5 e β = 2.

Distribuição F de Snedecor
Fig I-1

A formulação matemática para essas funções pode ser deduzida a partir da definição anterior. Apresenta-se aqui apenas o resultado para a função de densidade de probabilidades.

$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \dfrac{\alpha^{\alpha/2} \beta^{\beta/2} x^{\alpha/2 - 1}}{B(\alpha/2, \beta/2) (\alpha x + \beta)^{(\alpha+\beta)/2}} & x > 0 \\0 & x \leq 0 \end{array}\right. \tag{1B}$$

Onde α e β são os parâmetros dos graus de liberdade da definição anterior e B é a função beta, que é definida por:

$$B(a, b) = \int_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx \tag{1C}$$
Média da distribuição F:

$$E(X) = \begin{array}{ll} \dfrac{\beta}{\beta-2} & \beta > 2 \end{array} \tag{1D}$$
Variância da distribuição F:

$$\text{Var}(X) = \begin{array}{ll} \dfrac{2 \beta^2(\alpha + \beta - 2)}{\alpha (\beta - 2)^2 (\beta - 4)} & \beta > 4 \end{array} \tag{1E}$$


Algumas propriedades da distribuição F:

a) Se X tem distribuição t-student com ν graus de liberdade, então $X^2 \sim F(1, \nu)$

b) Se $X \sim F(\alpha, \beta)$, então $(1/X) \sim F(\beta, \alpha)$

c) Sejam as seguintes amostras:

• {X1, X2, ... , Xm} de uma população com distribuição normal de média μ1 e variância σ12
• {Y1, Y2, ... , Yn} de uma população com distribuição normal de média μ2 e variância σ22

As variâncias das amostras são:

$$s_1^2 = \frac{1}{m-1} \sum (X_i - \overline X)^2\\s_2^2 = \frac{1}{n-1} \sum (Y_i - \overline Y)^2$$
Então $(Z = s_1^2 / s_2^2) \sim F(m, n)$. Essa propriedade pode ser usada para testar a igualdade de variância entre as duas populações.


2) Tabelas da Distribuição F

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Na tabela abaixo, valores de x conforme Figura II-1 são dados para o valor de A indicado.

ν1: graus de liberdade da variável do numerador (primeira linha).

ν2: graus de liberdade da variável do denominador (primeira coluna à esquerda da tabela).

Distribuição F
Fig II-1

Tabela para A = 0,1 ou 10%
ν21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,71 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,79 63,06 63,33
2 8,526 9,000 9,162 9,243 9,293 9,326 9,349 9,367 9,381 9,392 9,408 9,425 9,441 9,450 9,458 9,466 9,475 9,483 9,491
3 5,538 5,462 5,391 5,343 5,309 5,285 5,266 5,252 5,240 5,230 5,216 5,200 5,184 5,176 5,168 5,160 5,151 5,143 5,134
4 4,545 4,325 4,191 4,107 4,051 4,010 3,979 3,955 3,936 3,920 3,896 3,870 3,844 3,831 3,817 3,804 3,790 3,775 3,761
5 4,060 3,780 3,619 3,520 3,453 3,405 3,368 3,339 3,316 3,297 3,268 3,238 3,207 3,191 3,174 3,157 3,140 3,123 3,105
6 3,776 3,463 3,289 3,181 3,108 3,055 3,014 2,983 2,958 2,937 2,905 2,871 2,836 2,818 2,800 2,781 2,762 2,742 2,722
7 3,589 3,257 3,074 2,961 2,883 2,827 2,785 2,752 2,725 2,703 2,668 2,632 2,595 2,575 2,555 2,535 2,514 2,493 2,471
8 3,458 3,113 2,924 2,806 2,726 2,668 2,624 2,589 2,561 2,538 2,502 2,464 2,425 2,404 2,383 2,361 2,339 2,316 2,293
9 3,360 3,006 2,813 2,693 2,611 2,551 2,505 2,469 2,440 2,416 2,379 2,340 2,298 2,277 2,255 2,232 2,208 2,184 2,159
10 3,285 2,924 2,728 2,605 2,522 2,461 2,414 2,377 2,347 2,323 2,284 2,244 2,201 2,178 2,155 2,132 2,107 2,082 2,055
11 3,225 2,860 2,660 2,536 2,451 2,389 2,342 2,304 2,274 2,248 2,209 2,167 2,123 2,100 2,076 2,052 2,026 2,000 1,972
12 3,177 2,807 2,606 2,480 2,394 2,331 2,283 2,245 2,214 2,188 2,147 2,105 2,060 2,036 2,011 1,986 1,960 1,932 1,904
13 3,136 2,763 2,560 2,434 2,347 2,283 2,234 2,195 2,164 2,138 2,097 2,053 2,007 1,983 1,958 1,931 1,904 1,876 1,846
14 3,102 2,726 2,522 2,395 2,307 2,243 2,193 2,154 2,122 2,095 2,054 2,010 1,962 1,938 1,912 1,885 1,857 1,828 1,797
15 3,073 2,695 2,490 2,361 2,273 2,208 2,158 2,119 2,086 2,059 2,017 1,972 1,924 1,899 1,873 1,845 1,817 1,787 1,755
16 3,048 2,668 2,462 2,333 2,244 2,178 2,128 2,088 2,055 2,028 1,985 1,940 1,891 1,866 1,839 1,811 1,782 1,751 1,718
17 3,026 2,645 2,437 2,308 2,218 2,152 2,102 2,061 2,028 2,001 1,958 1,912 1,862 1,836 1,809 1,781 1,751 1,719 1,686
18 3,007 2,624 2,416 2,286 2,196 2,130 2,079 2,038 2,005 1,977 1,933 1,887 1,837 1,810 1,783 1,754 1,723 1,691 1,657
19 2,990 2,606 2,397 2,266 2,176 2,109 2,058 2,017 1,984 1,956 1,912 1,865 1,814 1,787 1,759 1,730 1,699 1,666 1,631
20 2,975 2,589 2,380 2,249 2,158 2,091 2,040 1,999 1,965 1,937 1,892 1,845 1,794 1,767 1,738 1,708 1,677 1,643 1,607
21 2,961 2,575 2,365 2,233 2,142 2,075 2,023 1,982 1,948 1,920 1,875 1,827 1,776 1,748 1,719 1,689 1,657 1,623 1,586
22 2,949 2,561 2,351 2,219 2,128 2,061 2,008 1,967 1,933 1,904 1,859 1,811 1,759 1,731 1,702 1,671 1,639 1,604 1,567
23 2,937 2,549 2,339 2,207 2,115 2,047 1,995 1,953 1,919 1,890 1,845 1,796 1,744 1,716 1,686 1,655 1,622 1,587 1,549
24 2,927 2,538 2,327 2,195 2,103 2,035 1,983 1,941 1,906 1,877 1,832 1,783 1,730 1,702 1,672 1,641 1,607 1,571 1,533
25 2,918 2,528 2,317 2,184 2,092 2,024 1,971 1,929 1,895 1,866 1,820 1,771 1,718 1,689 1,659 1,627 1,593 1,557 1,518
26 2,909 2,519 2,307 2,174 2,082 2,014 1,961 1,919 1,884 1,855 1,809 1,760 1,706 1,677 1,647 1,615 1,581 1,544 1,504
27 2,901 2,511 2,299 2,165 2,073 2,005 1,952 1,909 1,874 1,845 1,799 1,749 1,695 1,666 1,636 1,603 1,569 1,531 1,491
28 2,894 2,503 2,291 2,157 2,064 1,996 1,943 1,900 1,865 1,836 1,790 1,740 1,685 1,656 1,625 1,593 1,558 1,520 1,478
29 2,887 2,495 2,283 2,149 2,057 1,988 1,935 1,892 1,857 1,827 1,781 1,731 1,676 1,647 1,616 1,583 1,547 1,509 1,467
30 2,881 2,489 2,276 2,142 2,049 1,980 1,927 1,884 1,849 1,819 1,773 1,722 1,667 1,638 1,606 1,573 1,538 1,499 1,456
40 2,835 2,440 2,226 2,091 1,997 1,927 1,873 1,829 1,793 1,763 1,715 1,662 1,605 1,574 1,541 1,506 1,467 1,425 1,377
60 2,791 2,393 2,177 2,041 1,946 1,875 1,819 1,775 1,738 1,707 1,657 1,603 1,543 1,511 1,476 1,437 1,395 1,348 1,291
120 2,748 2,347 2,130 1,992 1,896 1,824 1,767 1,722 1,684 1,652 1,601 1,545 1,482 1,447 1,409 1,368 1,320 1,265 1,193
2,706 2,303 2,084 1,945 1,847 1,774 1,717 1,670 1,632 1,599 1,546 1,487 1,421 1,383 1,342 1,295 1,240 1,169 1,000
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Mar/2018