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Probabilidades e Estatística III-54

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Tópicos: Distribuição t-student |


1) Distribuição t-student

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Esta distribuição foi descoberta pelo químico e estatístico inglês William Sealy Gosset em 1908. Entretanto, seu empregador na época proibia a divulgação de trabalhos técnicos desenvolvidos por funcionários porque os considerava segredos comerciais. Para prevenir problemas, Gosset publicou seu trabalho sob o pseudônimo Student. E, por associação com o teste estatístico denominado "T", ficou conhecida como distribuição t-student (ou student's T, em inglês). A função de densidade de probabilidades é dada por:

$$f(x) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2}) (1 + \frac{x^2}{\nu})^{-\tfrac{\nu + 1}{2}}}{\Gamma(\frac{\nu}{2}) \sqrt{\pi \nu}} \tag{1A}$$

O parâmetro ν é denominado número de graus de liberdade da distribuição e Γ é a função gama:

$$\Gamma(a) = \int_0^\infty x^{a-1} \mathrm e^{-x} dx \tag{1B}$$
A função de distribuição acumulada pode ser obtida por integração, mas aqui é omitida. A figura a seguir exibe curvas aproximadas para as funções de distribuição acumulada e de densidade de probabilidades para ν = 2.

Distribuição t-student
Fig I-1

Média e variância da distribuição t-student:

$$E(X) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & \nu > 1 \\\text{indefinida} & \nu \leq 1 \end{array}\right. \tag{1C}$$

$$\mathrm{Var}(X) = \left \{ \begin{array}{ll} \dfrac{\nu}{\nu-2} & \nu > 2 \\\text{indefinida} & \nu \leq 2 \end{array}\right. \tag{1D}$$


Esta é a formulação original da distribuição, publicada por William Gosset: sejam { X1 ... Xn } variáveis independentes de uma amostra de uma população de média μ e variância σ2. A média da amostra é dada por:

$$\overline X = \frac{1}{n} \sum X_i \tag{1E}$$
O desvio-padrão da amostra é calculado por:

$$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \overline X)^2 \tag{1F}$$
Seja a variável Z definida por:

$$Z = \frac{\overline X - \mu}{s \big/ \sqrt n} \tag{1G}$$
Então, Z tem distribuição t-student com (n − 1) graus de liberdade.


Outra formulação da distribuição t-student: sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que $X \sim N(0, \sigma^2)$ e $(Y^2/\sigma^2) \sim \ \chi_n^2$. Seja a variável T definida por:

$$T = \frac{X \sqrt n}{Y} \tag{1H}$$
Então T tem distribuição t-student com n graus de liberdade.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Mar/2018