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Probabilidades e estatística III-51

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Tópicos: Tabela para a Distribuição chi-quadrado |


1) Tabela para a Distribuição chi-quadrado

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A tabela contém valores selecionados para a distribuição mencionada. A primeira coluna se refere a valores inteiros do grau de liberdade ν.

Distribuição chi-quadrado
Fig I-1

Os valores numéricos do cabeçalho (primeira linha) indicam as áreas à direita (A da figura acima) para os valores de x nas colunas correspondentes.

ν | A 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005
01 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,102 0,455 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879
02 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,575 1,386 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597
03 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 2,366 4,108 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838
04 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 3,357 5,385 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860
05 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,675 4,351 6,626 9,236 11,071 12,833 15,086 16,750
06 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 7,841 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548
07 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 9,037 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278
08 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 10,219 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955
09 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 11,389 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589
10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 12,549 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188
11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 10,341 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757
12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 11,340 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300
13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 9,299 12,340 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819
14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,165 13,339 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319
15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,037 14,339 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801
16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,912 15,339 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267
17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,792 16,338 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718
18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 13,675 17,338 21,605 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156
19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,562 18,338 22,718 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582
20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 15,452 19,337 23,828 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997
21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 16,344 20,337 24,935 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401
22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 17,240 21,337 26,039 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796
23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 18,137 22,337 27,141 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181
24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 19,037 23,337 28,241 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559
25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 19,939 24,337 29,339 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928
26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 20,843 25,336 30,435 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290
27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 21,749 26,336 31,528 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645
28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 22,657 27,336 32,620 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993
29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 23,567 28,336 33,711 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336
30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336 34,800 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672


Exemplo 01: seja uma distribuição χ2 com 10 graus de liberdade. Na linha ν = 10 e coluna A = 0,100 encontra-se o valor 15,987. Portanto,

P( x > 15,987 ) = 0,100

Exemplo 02: seja {X1 … Xn} uma amostra aleatória de uma população de distribuição normal com média μ e variância σ2. Considera-se n = 16 e a estimativa da variância:

$$s_n^2 = \frac{1}{n} \sum (X_i - \overline X)^2$$
Determinar a probabilidade $P\left(\frac{\sigma^2}{2} \leq s_n^2 \leq 2 \sigma^2 \right)$

Solução: nessa relação, substituindo o valor da estimativa de variância, multiplicando tudo por n e dividindo tudo por σ2,

$$P \left[ \frac{n}{2} \leq \frac{1}{\sigma^2} \sum (X_i - \overline X)^2 \leq 2n \right]$$
Seja a variável aleatória:

$$Y = \frac{1}{\sigma^2} \sum (X_i - \overline X)^2$$
Do Exemplo 01 da página anterior, verifica-se que Y tem distribuição χ2n. Substituindo Y e n na expressão prévia da probabilidade,

$$P( 8 \leq y \leq 32) \text{ com } Y \sim \chi_{16}^2$$
Usando relações simples de probabilidades,

$$P( 8 \leq y \leq 32) = P(y > 8) - P(y > 32)$$
Da tabela, para ν = 16 e x = 7,962 (≈ 8. É o "y" deste caso), A = 0,950. Para x = 32,000, obtém-se A = 0,010. E o resultado final é:

$$P( 8 \leq y \leq 32) = P(y > 8) - P(y > 32) = 0,950 - 0,010 = 0,94$$
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Mar/2018