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Probabilidades e Estatística III-35

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Tópicos: Estimador Pontual - Método da Máxima Verossimilhança |


1) Estimador Pontual - Método da Máxima Verossimilhança

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Seja uma variável aleatória X cuja distribuição estatística é dada pela função de densidade genérica, onde θ1 ... θk são k parâmetros dessa distribuição:

$$f(x, \theta_1, \cdots, \theta_k) \tag{1A}$$
Seja também {x1 ... xn} uma amostra de n elementos da população associada a essa função. Então, a Função de Verossimilhança V é definida pelo produto:

$$V(x_1, \cdots, x_n| \theta_1, \cdots, \theta_k) = \prod_{i=1}^n f(x_i, \theta_1, \cdots, \theta_k) \tag{1B}$$

Em geral, usa-se o logaritmo porque o trabalho com soma é mais fácil:

$$\ln V = \sum_{i=1}^n \ln \big[ f(x_i, \theta_1, \cdots, \theta_k) \big] \tag{1C}$$
Os Estimadores de Máxima Verossimilhança de θ1 ... θk são obtidos pelos valores máximos de V ou de ln V. Usando a forma logarítmica anterior e, considerando que o valor máximo está no ponto de derivada nula, pode-se dizer que θ1 ... θk formam a solução de um sistema de k equações tal que, para j = 1...k,

$$\frac{\partial \ln V}{\partial \theta_j} = 0 \tag{1D}$$

Exemplo 01: para a Distribuição Exponencial, a função de densidade é:

$$f(x) = \lambda \mathrm e^{-\lambda x} \tag{1E}$$
Usando a notação de função exponencial,

$$f(x) = \lambda \exp(-\lambda x) \tag{1F}$$
Há um único parâmetro (λ) para estimar. A função de verossimilhança é

$$V(x_1, \cdots, x_n | \lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda \exp(-\lambda x_i) = \lambda^n \exp \left(-\lambda \sum x_i \right)$$

Aplicando o logaritmo,

$$\ln V = n \ln \lambda - \lambda \sum x_i$$
Derivando em relação a λ e igualando a zero,

$$\partial \ln V / \partial \lambda = (n/ \lambda) - \sum x_i = 0$$
Portanto,

$$\hat\lambda = \frac{n}{\sum x_i} = \frac{1}{\overline x} \tag{1G}$$

Exemplo 02 (prova IRB 2004): para uma amostra de tamanho 30 da Distribuição de Poisson (onde x = 0, 1, 2 ...),

$$P(x, \theta) = \mathrm e^{-\theta} \theta^x \big/ x! \tag{1H}$$
encontrou-se soma 12 para os itens amostrais. Assinale a opção que corresponde à estimativa de máxima verossimilhança de a probabilidade da Poisson se anular.

a) e−1/5 b) e−1/2 c) e−2/5 d) e−3/5 e) e−4/5

Solução: a função de verossimilhança é dada por $V = \prod \mathrm e^{-\theta} \theta^{x_i} \big/ x_i!$. Aplicando o logaritmo,

$$\ln V = \sum \ln \left( \mathrm e^{-\theta} \theta^{x_i} \big/ x_i! \right) = - n\theta + (\Sigma x_i) \ln \theta - \Sigma \ln(x_i!)$$

Derivando e igualando a zero,

$$\partial (\ln V) \big/ \partial \theta = -n + (\Sigma x_i) \big/ \theta = 0$$
Portanto,

$$\hat \theta = \frac{1}{n} \sum x_i \tag{1I}$$
Substituindo os valores informados, $\hat \theta = 12/30 = 2/5$. Resposta presumível (c).


Exemplo 03: para a Distribuição Normal,

$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left[{\dfrac{-(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}\right] \tag{1J}$$
A função de verossimilhança é dada por:

$$V = \frac{1}{(\sigma \sqrt{2 \pi})^n} \exp \left[-(1/2) \sum {\dfrac{(x_i-\mu)^2}{\sigma^2}}\right]$$

Aplicando o logaritmo,

$$\ln V = -(n/2) \ln 2\pi - n \ln \sigma - (1/2) \sum \left( \frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^2$$

Derivando em relação a μ e igualando a zero,

$$\partial \ln V \big/ \partial \mu = \frac{1}{\sigma^2} \sum (x_i - \mu) = 0$$
Derivando em relação a σ e igualando a zero,

$$\partial \ln V \big/ \partial \sigma = (n/\sigma) + (1/\sigma^3) \sum \left( \frac{x_i - \mu}{\sigma} \right)^2 = 0$$

Resolvendo essas equações, chega-se aos resultados:

$$\hat \mu = \frac{1}{n} \sum x_i = \overline x\\\hat \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum \left( x_i - \overline x \right)^2 \tag{1K}$$
Nota-se que, para este caso, os resultados são idênticos aos obtidos com o método dos momentos visto em página anterior.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018