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Probabilidades e Estatística II-50

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Tópicos: Algumas questões de provas |


Exemplo 01: um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é:

(a) 1/5
(b) 3/10
(c) 2/5
(d) 3/5
(e) 7/10

Solução: se a probabilidade de número par no dado é 3/5, a de número ímpar é:

P(I) = 1 − 3/5 = 2/5

Para a moeda ideal (não viciada) a probabilidade de coroa é:

P(C) = 1/2

Os eventos não são mutuamente exclusivos porque podem ocorrer ao mesmo tempo. A questão pede a probabilidade de um ou outro, isto é, da união dos subconjuntos que contêm cada evento. Usando a fórmula já vista,

$$P(I \cup C) = P(I) + P(C) - P(I \cap C)$$
A probabilidade da interseção (última parcela) é dada pelo produto das probabilidades individuais porque os eventos são independentes. Portanto,

$P(I \cup C) = 2/5 + 1/2 - 2/5\ 1/2 = 4/10 + 5/10 - 2/10 = 7/10$. Resposta (e).


Exemplo 02: a portaria Inmetro 74/1995 estabelece critérios para a verificação do conteúdo de produtos embalados sem a presença do consumidor e que tenham peso líquido previamente impresso nas embalagens. Um lote de N unidades é submetido a verificação mediante o exame de uma amostra aleatória simples, sem reposição, de tamanho n. O lote é aprovado quando a amostra escolhida satisfaz, simultaneamente, as condições seguintes:

(1) um critério de aceitação para a média $\overline x$

(2) um critério individual pelo qual a amostra pode conter no máximo c unidades abaixo de (Qn − T), em que Qn é o peso líquido indicado na embalagem e T é uma tolerância individual cujo valor depende de Qn e é especificado na portaria.

A tabela abaixo (adaptada) descreve o tamanho amostral n e os dois critérios de aceitação, para diferentes tamanhos do lote N, em que a média amostral $\overline x = \Sigma \ x_i/n$, o desvio-padrão da amostra $s^2 = \Sigma\ (x_i - \overline x)^2 / (n-1)$ e $x_1, \cdots, x_n$ são os conteúdos efetivos dos produtos incluídos na amostra.

Tamanho do lote (N) Tamanho da amostra (n) Critério para a média Critério individual (c)
50 a 149 20 x ≥ Qn − 0,640 s 1
150 a 4 000 32 x ≥ Qn − 0,485 s 2
4 001 a 10 000 81 x ≥ Qn − 0,295 s 5

Com referência ao texto, suponha que um lote de N = 96 unidades contenha exatamente duas unidades com peso inferior a (Qn − T). Segundo a portaria, o critério de aceitação individual é satisfeito quando a amostra aleatória simples, sem reposição, de n = 20 unidades, contém no máximo uma unidade com peso inferior a (Qn − T). Nessas condições, a probabilidade de que seja escolhida uma amostra que não satisfaça o critério de aceitação individual é:

(a) inferior a 0,01
(b) superior a 0,01 e inferior a 0,05
(c) superior a 0,05 e inferior a 0,10
(d) superior a 0,10 e inferior a 0,20
(e) superior a 0,20

Solução: a questão afirma: no lote de 96, há 2 com peso inferior. Então, uma amostra de 20 pode ter 0, 1 ou 2 com peso inferior. Também conforme questão, a aceitação ocorre com no máximo 1 de peso inferior, ou seja, a amostra pode ter 0 ou 1 com peso inferior. Então, o problema é determinar a probabilidade de se retirar desse lote de 96 (das quais 2 têm peso inferior) uma amostra de 20 que contenha essas 2 de peso inferior.

Total de amostras diferentes: M = C(96, 20)

Total de amostras com 2 de peso inferior: m = C(96-2, 20-2) = C(94, 18). Essa relação ocorre porque, na amostra de 20, 2 tem sempre peso inferior, restando 2 unidades a menos no total e no tamanho da amostra para o cálculo das combinações possíveis.

A probabilidade é dada por:

$P = \dfrac{m}{M} = \dfrac{C(94,18)}{C(96,20)} = \dfrac{94!\big/(76! 18!)}{96!\big/(76! 20!)} = \dfrac{94! 20!}{96! 18!} = \dfrac{94!\ 20 \ 19 \ 18!}{96 \ 95 \ 94! \ 18!} = \frac{1}{24} \approx 0,042$. Resposta (b).


Exemplo 03: com relação ao texto do Exemplo 02, considere que um lote de N = 10.000 unidades, do qual foi coletada consequentemente uma amostra de tamanho n = 81, tenha peso líquido médio das unidades do lote igual a μ. Nessa situação, um intervalo de confiança aproximado para μ pode ser definido como $\overline x \pm z s\big/\sqrt n$, em que z é um valor convenientemente escolhido da tabela da distribuição normal padrão.

Probabilidades acumuladas f(z) da distribuição normal padrão
z 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576
f(z) 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

Distribuição Normal

Considere ainda que o critério de aceitação para a média pode ser reescrito como $Q_n \leq \overline x + 0,295 s$, isto é, o peso líquido indicado na embalagem não pode ser maior que o limite superior do intervalo $\overline x \pm 0,295 s$. Para N = 10.000 e n = 81, assumindo que a aproximação normal indicada acima é correta e usando os valores escolhidos da tabela normal fornecidos acima, o nível de confiança associado ao intervalo $\left[\overline x - 0,295 s,\ \overline x + 0,295 s \right]$ é:

(a) menor ou igual a 80%
(b) maior que 80% e menor ou igual a 85%
(c) maior que 85% e menor ou igual a 90%
(d) maior que 90% e menor ou igual a 95%
(e) maior que 95%

Solução: se o intervalo é definido por $\overline x \pm z s\big/\sqrt n$, para $\left[\overline x - 0,295 s,\ \overline x + 0,295 s \right]$ deve-se ter: $z s \big/\sqrt n = 0,295 s$, com n = 81. Simplificando e calculando,

z = 0,295 x 9 = 2,655

De acordo com a tabela dada, deve-se ter f(z) maior que 0,995 para esse valor de z. Então, a probabilidade de valores acima de x + 0,295 s é menor que 1 − 0,995 = 0,005 ou 0,5%. Desde que a curva normal é simétrica, a probabilidade de valores abaixo de x − 0,295 s é também menor que 0,5%. Somando ambas, a probabilidade de valores fora da faixa é menor que 1% ou a probabilidade de valores dentro da faixa maior que 99%. Resposta (e).
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018