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Probabilidades e Estatística II-42

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Tópicos: Distribuição Normal Multivariada |


1) Distribuição Normal Multivariada

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Seja X uma variável aleatória n-dimensional representada pela matriz:

$$X = \begin{bmatrix} X_1\\X_2\\\vdots\\X_n \end{bmatrix} \tag{1A}$$
A matriz das médias é:

$$\mu = \begin{bmatrix} \mu_1\\\mu_2\\\vdots\\\mu_n \end{bmatrix} \tag{1B}$$
A matriz de covariância é dada por:

$$\Sigma = E \left[ (X-\mu)\ (X-\mu)^T \right] \tag{1C}$$
Onde o expoente T significa matriz transposta (troca de linha com coluna).

Diz-se então que X tem uma distribuição normal multivariada se a função de densidade de probabilidade conjunta de X1, X2 ... Xn for definida por:

$$f(X_1, \cdots, X_n) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2} |\Sigma|^{1/2}} \mathrm e^{\large{-(1/2) (X-\mu)^T \Sigma^{-1} (X-\mu)}} \tag{1D}$$

Lembrando,

$|\Sigma|$ = determinante de Σ
$\Sigma^{-1}$ = matriz inversa de Σ

Obs: se cada Xi tem distribuição normal, X1, X2 ... Xn pode ter ou não distribuição normal conjunta.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018