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Probabilidades e Estatística II-42

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Tópicos: Tabela da Distribuição Normal Padrão |


1) Tabela da Distribuição Normal Padrão

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Conforme visto em página anterior, a distribuição normal padrão é a distribuição normal com o parâmetro média considerado nulo (μ = 0) e o parâmetro desvio-padrão considerado unitário (σ = 1). Nessa condição, a função de densidade, simbolizada por φ(z), fica simplificada para:

$$\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm e^{-z^2/2} \tag{1A}$$
Lembrando agora a relação entre função de distribuição (F) e função de densidade (f),

$$F(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^z f(u) du \tag{1B}$$
O símbolo f corresponde ao φ anterior. É usado o símbolo Φ no lugar de F para a distribuição normal padrão. Assim a probabilidade de ocorrência de valores menores ou iguais a um valor genérico z dessa distribuição é dada por:

$$\Phi(z) = P(Z \leq z) = \int_{-\infty}^z \varphi(u) du = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^z \mathrm e^{-u^2/2} du \tag{1C}$$

Isso representa a área (entre −∞ e z) sob a curva da função de densidade.

Distribuição Normal Padrão
Fig I-1

A tabela comum abaixo dá os valores de área sob a curva entre 0 e z conforme indicado na Figura I-1 (a). Portanto, é a fórmula anterior modificada para:

$$\Phi(z) = P(0 \leq Z \leq z) = \int_0^z \varphi(u) du = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^z \mathrm e^{-u^2/2} du \tag{1D}$$

Desde que a distribuição normal é simétrica, a área entre −∞ e z conforme (1C) é dada pela soma de 0,5 aos valores da tabela. Ver (b) da mesma figura.

Tabela 01
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

Alguns exemplos de uso da tabela

• Probabilidade de Z ≤ 1,53

Na interseção da linha 1,5 com a coluna 0,03 há o valor 0,4370. Precisa-se somar 0,5 porque, conforme visto, a tabela dá valores a partir de zero. Assim, P( Z ≤ 1,53 ) ≈ 0,4370 + 0,5 = 0,9370


• Probabilidade de Z ≤ −1,53

A simetria da curva permite deduzir a fórmula para valores negativos de z:

$$P( Z \leq v) = 1 - P(Z \leq |v|) \mathrm{\ para\ } v < 0 \tag{1E}$$

Portanto, P( Z ≤ −1,53 ) ≈ 1 − 0,9370 = 0,0630


• Probabilidade de −1 ≤ Z ≤ 0,5

A ideia gráfica permite concluir que é igual à diferença entre os valores calculados para cada extremo.

P( Z ≤ 0,5 ) = 0,5 + 0,1915 = 0,6915. P( Z ≤ −1 ) = 1 − P( Z ≤ 1 ) = 1 − (0,5 + 0,3413) = 0,1587

Portanto o resultado é dado por P( −1 ≤ Z ≤ 0,5 ) = 0,6915 − 0,1587 = 0,5328


Uma distribuição normal genérica, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, pode ser reduzida a uma distribuição padrão (e a tabela pode ser usada) pela relação:

$$P( X \leq x) = P\left( \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = P\left( Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma} \right) = \Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) \tag{1F}$$

• Seja uma distribuição normal com média 20 e desvio-padrão 2. Aplicam-se a relação acima e a tabela anterior para determinar a probabilidade P( X ≤ 22 ):

$$P( X \leq 22) = P\left( Z \leq \frac{22-20}{2} \right) = \Phi \left( 1 \right) = 0,3413 + 0,5$$
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018