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Probabilidades e Estatística II-35

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Tópicos: Distribuição Gama |


1) Distribuição Gama

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Inicialmente são dadas algumas considerações sobre a função gama Γ, que é definida por:

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} \mathrm e^{-x} dx \tag{1A}$$
Desde que d(−e−x) = e−x dx, é possível substituir e fazer a integração por partes:

$$\Gamma(\alpha) = \Big[x^{\alpha-1} (-\mathrm e^{-x})\Big]_0^\infty -\int_0^\infty (-\mathrm e^{-x}) (\alpha-1) x^{\alpha-2} dx \\ \Gamma(\alpha) = (\alpha-1) \int_0^\infty x^{(\alpha-1)-1} \mathrm e^{-x} dx = (\alpha-1) \Gamma(\alpha-1) \tag{1B}$$

Desde que Γ(1) = 1, para qualquer α inteiro e positivo, vale:

$$\Gamma(\alpha) = (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots 1 = (\alpha -1)! \tag{1C}$$

Na igualdade (1A), substituindo x por βx,

$$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty \beta^\alpha x^{\alpha-1} \mathrm e^{-\beta x} dx \tag{1D}$$
Dividindo tudo por Γ(α),

$$1 = \int_0^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} \mathrm e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)} dx = \int_0^\infty f(x) dx \tag{1E}$$

A função f(x) tem características de uma função de densidade de probabilidade e a variável aleatória associada a ela é dita ter distribuição gama de parâmetros α e β . Portanto,

$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \dfrac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} \mathrm e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)} & x \geq 0 \\0 & x < 0 \end{array}\right. \tag{1F}$$
α é também denominado parâmetro de forma e β, parâmetro de taxa. Em algumas referências, é usado um parâmetro de escala θ equivalente ao inverso deste último, isto é,

$$\theta = 1\ \big/\ \beta \tag{1G}$$
Substituindo na função f(x) anterior,

$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^{\alpha-1} \mathrm e^{-x/\theta}}{\Gamma(\alpha)\ \theta^\alpha} & x \geq 0 \\0 & x < 0 \end{array}\right. \tag{1H}$$
A função de distribuição acumulada é dada por:

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt = \frac{\gamma(\alpha, \beta x)}{\Gamma(\alpha)} \tag{1I}$$

Na igualdade acima, γ é a função gama incompleta inferior:

$$\gamma(a, x) = \int_0^x t^{a-1} \mathrm e^{-t} dt \tag{1J}$$
A figura abaixo dá exemplo gráfico aproximado das funções de distribuição e de densidade para α = 2,0 e β = 0,5.

Distribuição Gama
Fig I-1

Média e variância da distribuição gama:

$$E(X) = \alpha\ \big/\ \beta\\ \mathrm{Var}(X) = \alpha\ \big/\ \beta^2 \tag{1K}$$
Considerando a relação já vista Γ(1) = 1, conclui-se que a Distribuição Exponencial é um caso particular da distribuição gama com α = 1. Nesse caso, β equivale ao parâmetro λ, símbolo usual para a distribuição exponencial.

Omitindo a demonstração, segue um teorema importante da distribuição gama: sejam as variáveis aleatórias X1, X2 ... Xn, todas com distribuição gama de parâmetros α1, α2 ... αn e β comum. Então a soma X1 + X2 + ... + Xn tem distribuição gama com parâmetros α = α1 + α2 + ... + αn e β.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Dez/2007