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Probabilidades e Estatística II-30

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Tópicos: Distribuição Exponencial | Distribuição Uniforme |


1) Distribuição Exponencial

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Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial se a função de densidade de probabilidade é dada por:

$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll}\lambda \mathrm e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\0 & x < 0 \end{array}\right. \tag{1A}$$
λ: parâmetro da distribuição
e: base dos logaritmos naturais (≈ 2,71828)

Em algumas referências, o parâmetro λ é substituído pelo seu inverso, que aqui se denomina μ. Assim,

$$\lambda = \frac{1}{\mu} \tag{1B}$$
E a função anterior é escrita na forma:

$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} (1/\mu) \mathrm e^{-x/\mu} & x \geq 0 \\0 & x < 0 \end{array}\right. \tag{1C}$$
Essa notação é fundamentada no uso comum distribuição, onde a variável X indica tempo e o parâmetro μ é também uma unidade de tempo, significando vida útil esperada. Conforme pode ser visto adiante, ele á a própria média da distribuição.

A função de distribuição acumulada, considerando a notação com o parâmetro λ, é dada por:

$$F(x) = P(X \leq x) = \begin{array}{ll} 1 - \mathrm e^{-\lambda x} & \mathrm{para\ } x \geq 0 \end{array} \tag{1D}$$

A figura a seguir exibe gráficos aproximados da função de distribuição e da função de densidade para λ = 1,5.

Distribuição exponencial
Fig I-1

Média e variância da distribuição exponencial:

$$E(X) = \frac{1}{\lambda} = \mu \\ \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \tag{1E}$$
A distribuição exponencial pode ser entendida como o caso contínuo da distribuição geométrica já vista em página anterior. Nesta última, ocorre a probabilidade da ocorrência de uma mudança de "falha" para "sucesso". Na distribuição exponencial, pode-se considerar a probabilidade da mudança do estado "1" de um evento para um estado "2" com uma taxa por unidade de tempo λ.

Exemplo: uma ferramenta produzida por uma indústria apresenta uma vida média de 80 horas. Considerando o comportamento segundo a distribuição exponencial, qual a probabilidade de essa ferramenta durar mais de 100 horas? Solução: conforme já mencionado, vida média é o parâmetro μ, que é o inverso de λ. Portanto, λ = 1/80. Usa-se então a função de distribuição acumulada (1D) para determinar a probabilidade até 100 horas e subtrai-se de 1 para a probabilidade acima de 100 horas:

P(X > 100) = 1 − P(X ≤ 100) = 1 − F(100) = 1 − 1 + e− (1/80) 100 ≈ 0,2865


2) Distribuição Uniforme

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A distribuição uniforme de uma variável aleatória contínua X é caracterizada pela seguinte função de densidade de probabilidade:

$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & x < a\\ \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\0 & x > b \end{array}\right. \tag{2A}$$
Onde a e b são os parâmetros da distribuição, indicando os valores mínimo e máximo respectivamente.

A função de distribuição acumulada é dada por:

$$F(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 0 & x < a\\ \frac{x-a}{b-a} & a \leq x < b \\1 & x \geq b \end{array}\right. \tag{2B}$$
A figura abaixo dá exemplos gráficos das funções mencionadas.

Distribuição Uniforme
Fig II-1

Média e variância da distribuição uniforme:

$$E(X) = \frac{a+b}{2}\\ \mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \tag{2C}$$
Excesso de curtose da distribuição uniforme:

$$\gamma_2 = -6/5 \tag{2D}$$
Exemplo 01: várias linguagens de programação de computadores têm funções que geram números pseudoaleatórios cuja distribuição é uniforme. Se uma função desse tipo gera números entre 0 e 2, qual a probabilidade de um número gerado estar entre 1 e 1,5 ? Solução: Os parâmetros são a = 0 e b = 2. A função de densidade nesse intervalo é f(x) = 1 / (2 − 0) = 1/2. Portanto,

$P(1 \leq x \leq 1,5) = \int_1^{1,5} (1/2)dx = 0,25$

Exemplo 02 (questão de prova): Considere que X1, X2 ... X100 seja uma amostra aleatória simples de 100 erros de arredondamento. Cada erro de arredondamento é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída no intervalo [−0,5 +0,5]. A soma dos elementos dessa amostra é Y = X1 + X2 + ... + X100, e X é a média amostral. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

(para a solução dos itens, considera-se uma distribuição uniforme com função de densidade segundo a figura abaixo)

Exemplo de Distribuição Uniforme
Fig II-2

a) A soma Y é uma variável aleatória distribuída segundo uma distribuição normal no intervalo [−∞, +∞ ]. Solução: na página sobre Distribuição Normal deduz-se que essa soma tende a uma distribuição normal, se as amostras são independentes. Entretanto, não pode ter intervalo infinito porque o original é finito. Resposta: errado.

b) A variância de Y é superior a 8. Solução: a variância de cada Xi é dada pela fórmula (2C): σ2 = (0,5 − −0,5)2/12 = 1/12. Segundo Variância de uma Variável Aleatória, a variância da soma é n σ2 = 100/12 > 8. Resposta: certo.

c) Y2 é uma variável aleatória contínua cuja média é um valor entre 7,5 e 10. Solução: conforme Variância de uma Variável Aleatória, Var(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2. Var(Y) = 100/12 de acordo com item anterior. Segundo página Distribuição Normal, E(Y) = n μ. Conforme (2C), μ = E(Xi) = (−0,5 + 0,5)/2 = 0. Portanto, E(Y2) = Var(Y) = 100/12. O resultado está na faixa indicada. Resposta: certo.

d) A probabilidade da soma Y ser um valor positivo é igual a 0,5. Solução: considerando que a média de Y é zero e que a distribuição normal é simétrica em relação à média, Resposta: certo.

e) A probabilidade de se observar $\vert\overline{X}\vert > 0,65$ |X| > 0,65 não é nula. Solução: a média não pode estar fora da faixa da distribuição (−0,5 a +0,5). Portanto, essa probabilidade é nula. Resposta: errado.

f) A probabilidade de ocorrer um evento em que 50% da amostra é formada por valores positivos e a metade restante é formada por valores negativos é igual a 0,5. Solução: 0,5 é a probabilidade de valores negativos ou de positivos, porque a média é nula. Mas não é a probabilidade de formar amostra com metade negativo e metade positivo. Resposta: errado (ver analogia no Exemplo 02 de Distribuição Binomial).

g) A estatística $\sum X_i^2 / 99$ é um estimador não tendencioso para a variância da média amostral. Solução: conforme Exemplo 02: Variância da Distribuição Normal, o estimador refere-se à variância da amostra e não à variância da média. Resposta: errado.

h) A curtose da soma Y é positiva. Solução: segundo tópico Curtose, se não considerado o conceito de excesso de curtose, ela é sempre positiva. Resposta: certo.

Exemplo 03 (questão de prova): Uma calculadora é ajustada para retornar apenas números inteiros. R é um resultado de uma operação matemática e N, o respectivo número arredondado pela calculadora. A diferença D = N − R é o erro de arredondamento. Essa diferença segue uma distribuição uniforme no intervalo −0,5 ≤ D ≤ 0,5. Com base nessas informações e considerando que uma sequência independente de 10 erros de arredondamento seja denotada por D1, D2 ... D10, julgue os itens subsequentes.

(este exemplo é similar ao anterior - com 10 amostras no lugar de 100 - e algumas questões também)

a) A probabilidade de ocorrência do evento −0,25 ≤ D ≤ 0,25 é igual a 0,5. Solução: essa afirmação é decorrente da própria definição da função de densidade de probabilidade. A área entre dois valores é a probabilidade de a variável estar entre eles. Resposta: certo.

b) Da amostra aleatória de 10 erros de arredondamento, a probabilidade de se observar exatamente 5 erros positivos e 5 erros negativos é igual a 0,5. Solução: Similar à questão f do exemplo anterior. Resposta: errado.

c) A média (D1 + D2 + ... + D10)/10 segue uma distribuição cuja variância é inferior a 0,01. Solução: A variância de cada Xi é dada pela fórmula (2C): σ2 = (0,5 − −0,5)2/12 = 1/12. Da página sobre Distribuição Normal, a variância da soma é 10 σ2. De acordo com as propriedades da variância, a variância da média é dada por: 10 σ2 / 102 = 1/120 < 0,01. Resposta: certo (ver tópico Variância de uma Variável Aleatória).

d) Considerando-se uma sequência de 10 erros de arredondamento, denotada por D1, D2 ... D10, e sabendo-se que a correlação entre dois erros distintos é igual a 0,01, então a variância da soma D1 + D2 + ... + D10 é superior a 0,9. Solução: desde que a correlação não é nula, as variáveis não são independentes, e o resultado anterior não é mais válido. Do tópico Covariância, observa-se a relação ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / √[ Var(X) Var(Y) ]. Portanto, Cov(Xi, Xj) = 0,01 √[(1/12) (1/12)] = 0,001/12 para i ≠ j. Do mesmo tópico, obtém-se a fórmula para a variância da soma: Var ∑ Xi = ∑ Var(Xi) + 2 ∑i<j Cov(Xi, Xj). Substituindo, Var(D1 + D2 + ... + D10) = 10 (1/12) + 2 ∑i<j 0,01/12 ≈ 0,908. Resposta: certo.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018