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Probabilidades e Estatística II-25

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Tópicos: Distribuição Binomial Negativa | Distribuição Geométrica | Distribuição de Poisson |


1) Distribuição Binomial Negativa

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Seja a situação: uma sequência de eventos independentes onde, em cada evento, a probabilidade de sucesso é p e a probabilidade de falha é q = 1 − p porque somente esses dois eventos são possíveis. Uma variável aleatória X é dita ter distribuição binomial negativa se, nessa sequência, ela indica o número de falhas antes da ocorrência de determinado número de sucessos, que se designa por r.

A função de probabilidade é dada por:

$$p(x) = P(X=x) = \binom{r+x-1}{r-1} p^r q^x \tag{1A}$$

x: número de falhas antes de r sucessos (x = 0, 1, 2 ...)
r: número de sucessos
p: probabilidade de sucesso
q: probabilidade de falha (= 1 − p)

Considerando a definição do coeficiente binomial e da função gama $\Gamma(n) = (n - 1)!$, a igualdade anterior pode ser escrita:

$$p(x) = P(X=x) = \frac{\Gamma(r+x)}{x!\ \Gamma(r)} p^r q^x \tag{1B}$$

Média da distribuição binomial negativa:

$$E(X) = \frac{r\ q}{p} \tag{1C}$$
Variância da distribuição binomial negativa:

$$\mathrm{Var}(X) = \frac{r\ q}{p^2} \tag{1D}$$
Exemplo: uma moeda viciada exibe, em média, cinco coroas a cada seis jogadas. Determinar a probabilidade da ocorrência de 10 coroas antes da terceira cara.

Considerando sucesso como cara, tem-se p = 1 − 5/6 = 1/6. Portanto, q = 1 − p = 5/6. Também r = 3, porque o sucesso é cara. E x = 10 porque é o número de coroas ou falhas. Assim,

$$p(10) = \binom{3 + 10 - 1}{2} (1/6)^3 (5/6)^{10}\\p(10) \approx 0,049$$

2) Distribuição Geométrica

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Equivale à distribuição binomial negativa vista no tópico anterior com r = 1. Significa, portanto, a probabilidade de x falhas antes da ocorrência do primeiro sucesso. A função de probabilidade é dada por:

$$p(x) = P(X=x) = p\ q^x \tag{2A}$$
x: número de falhas antes do primeiro sucesso (x = 0, 1, 2 ...)
p: probabilidade de sucesso
q: probabilidade de falha (= 1 − p)

Média da distribuição geométrica:

$$E(X) = \frac{q}{p} \tag{2B}$$
Variância da distribuição geométrica:

$$\mathrm{Var}(X) = \frac{q}{p^2} \tag{1C}$$
Exemplo 01: uma moeda viciada apresenta cara em 75% das vezes em que é jogada. Então, a probabilidade de x jogadas antes da primeira cara é p(x) = 0,75 0,25x

Exemplo 02: um cavalheiro está numa festa e sabe que a probabilidade de uma dama aceitar um convite para dançar é 0,2. Quantas recusas ele espera receber antes de conseguir uma parceira de dança? Solução: a probabilidade de sucesso é p = 0,2 e a probabilidade de falha, q = 1 − 0,2 = 0,8. A média é dada por E(X) = q / p = 0,8 / 0,2 = 4. Portanto, ele pode esperar 4 negativas antes de encontrar uma parceira.


3) Distribuição de Poisson

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Esta distribuição discreta foi descoberta pelo matemático francês Siméon-Denis Poisson, que a publicou em 1838. Indica a probabilidade da ocorrência do número de eventos em determinado período de tempo ou região de um espaço, considerando que a ocorrência média é conhecida e que cada evento é independente do anterior. A função de probabilidade é dada por:

$$p(x) = P(X=x) = \frac{\mathrm e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} \tag{3A}$$
x: número de ocorrências para o qual a probabilidade é calculada. Deve ser um inteiro não negativo (x = 0, 1, 2 ...).

e: base dos logaritmos naturais (≈ 2,71828).

λ: número esperado de ocorrências no intervalo ou região considerado. Deve ser um número real positivo.

Distribuição de Poisson
Fig I-1

A figura acima dá exemplo gráfico da função de distribuição (p(xi) acumulada) e da função de probabilidade p(xi) para λ = 5 e x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, etc.

A média e a variância da distribuição de Poisson são iguais ao parâmetro λ:

$$E(X) = \lambda\\\mathrm{Var}(X) = \lambda \tag{3B}$$
Em página anterior, foi vista a função de probabilidade da distribuição binomial:

$$p(x) = P(X=x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x} \tag{3C}$$
É possível demonstrar que, para n grande e p pequeno, a distribuição binomial se aproxima da distribuição de Poisson. Valores práticos são n ≥ 20 e p ≤ 0,05. Neste caso, o parâmetro λ é dado por:

$$\lambda = n\ p \tag{3D}$$
Exemplo: a central de operações do corpo de bombeiros de uma grande cidade recebe em média 2,1 alarmes falsos por dia. Considerando o comportamento estatístico segundo a distribuição de Poisson, determinar a probabilidade da ocorrência de 4 alarmes falsos em um único dia.

São dados o parâmetro λ = 2,1 e a variável x = 4. Portanto, a probabilidade é p(4) = e−2,1 2,14 / 4! ≈ 0,0992
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018