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Probabilidades e Estatística II-15

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Tópicos: Vetor Aleatório |


1) Vetor Aleatório

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Uma variável aleatória n-dimensional ou vetor aleatório é um vetor de n dimensões formado por variáveis aleatórias. Exemplo a seguir.

$$X^n = \begin{bmatrix} X_1\\ \vdots \\X_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X_1 \cdots X_n\end{bmatrix}^T \tag{1A}$$
Observações:

• O símbolo T significa matriz transposta, troca de linhas com colunas.

• Aqui é adotada a notação $X^n$ ou apenas X, se implícito no contexto. É também usual o carácter maiúsculo em negrito (X)

A função de distribuição de um vetor aleatório é definida pela distribuição conjunta das suas coordenadas X1, …, Xn:

$$F_X (X^n) = F_{X_1, \cdots, X_n} (X_1, \cdots, X_n) \tag{1B}$$


Se a esperança E(Xi) existe para cada i, tem-se a matriz da média:

$$ E (X^n) = \mu = \begin{bmatrix} E(X_1)\\ \vdots \\ E(X_n) \end{bmatrix} \tag{1C}$$
Pode-se concluir que:

$$[E (X^n) ]^T = E[(X^n)^T] \tag{1D}$$

Se E(Xi Xj) existe para todo 1 < i, j < n, a matriz da variância é definida por:

$$\mathrm{Var}(X^n) = E \big[(X^n - \mu) (X^n - \mu)^T \big] \tag{1E}$$

Ela é, portanto, uma matriz simétrica n × n.

Para as propriedades da média e da variância, consideram-se:

A uma matriz constante m × n
Xn um vetor aleatório n-dimensional
α um vetor constante m-dimensional

$$E(\boldsymbol{A}X^n + \boldsymbol \alpha) = \boldsymbol AE(X^n) + \boldsymbol \alpha \tag{1F}$$
$$\mathrm{Var}(\boldsymbol {A} X^n + \boldsymbol \alpha) = \boldsymbol A\ \mathrm{Var}(X^n) \boldsymbol A^T \tag{1G}$$

Se Xi são variáveis independentes com mesma distribuição e mesma variância σ2, vale:

$$\mathrm{Var}(\boldsymbol A X^n + \boldsymbol \alpha) = \sigma^2 \boldsymbol A \boldsymbol A^T \tag{1H}$$

Exemplo de questão de prova: Considere as realizações de dois vetores aleatórios, em que $X^3 = (x_1, x_2, x_3)$, $Y^3 = (y_1, y_2, y_3)$ e $\Sigma x_i = \Sigma y_i = 0$. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.

a) O produto interno entre eles é um vetor de dimensão 3 × 1. Solução: segundo conceitos de álgebra linear, o produto interno dos vetores é dado por $\sum x_i y_i = |X| |Y| \cos \theta$. Onde θ é o ângulo entre eles. É um escalar e não um vetor. Resposta: errado.

b) O resultado do produto vetorial desses vetores é uma matriz simétrica de dimensão 3 × 3. Solução: em termos matriciais, o produto vetorial pode ser dado por:

$$\begin{bmatrix}0&-x_3&x_2\\x_3&0&-x_1\\ -x_2&x_1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}$$
O resultado é, portanto, uma matriz 3x1 que indica um vetor. Resposta: errado.

c) Se as realizações dos vetores formam entre si um ângulo de 60°, então a correlação linear entre eles é igual a 0,5. Solução: para duas variáveis aleatórias unidimensionais X e Y, ver (2A), (2I) e (2J) em tópico de página anterior. A covariância tem propriedades similares às do produto interno (ou produto escalar) de vetores. Assim, pode-se deduzir por indução que o coeficiente de correlação, segundo fórmulas dadas, deve corresponder ao cosseno de um ângulo. Desde que cos 60° = 0,5, o enunciado é presumivelmente correto. Resposta: certo.

d) Se a soma dos vetores é nula, o módulo do produto vetorial também é nulo. Solução: o módulo do produto vetorial é dado por: $|X| |Y| \sin \theta$. Onde θ é o ângulo entre eles. Se a soma dos vetores é nula, eles são opostos e $\theta = 180°$. Assim, $\sin θ = 0$ e o módulo do produto vetorial é zero. Resposta: certo.

e) A projeção escalar de X sobre Y é igual a $\sum x_i y_i / \sqrt{\sum y_i^2}$. Solução: o termo do denominador é o módulo do vetor Y, ou seja, $|Y|$. O numerador é o produto escalar dos vetores: $|X| |Y| \cos \theta$. A projeção de X sobre Y é $|X| \cos \theta$, que é igual ao produto escalar dividido pelo módulo de Y. Resposta: certo.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
Gray, Robert M. Davisson, Lee D. An Introduction to Statistical Signal Processing. Cambridge University Press
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018