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Probabilidades e Estatística II-06

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Tópicos: Distribuição Conjunta |


1) Distribuição Conjunta

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Seja o caso particular para duas variáveis aleatórias: se X e Y são variáveis discretas, a função de probabilidade conjunta p(x, y) é dada por:

$$p(x, y) = P( X=x \mathrm{\ e \ } Y=y) \tag{1A}$$
Desde que é uma probabilidade,

$$\sum_x \sum_y p(x, y) = 1 \tag{1B}$$
Se X e Y são variáveis contínuas, a função de densidade de probabilidade conjunta f(x, y) é definida por:

$$P[(x,y) \in A ] = \iint_A f(x,y) dx dy \tag{1C}$$
De forma similar à do caso discreto,

$$\iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx dy = 1 \tag{1D}$$
A função de probabilidade marginal ou função de densidade de probabilidade marginal são funções de probabilidade ou de densidade de probabilidade obtidas a partir da distribuição conjunta.

• Para o caso discreto:

$$p(x) = P(X=x) = \sum_y p(x,y)\\p(y) = P(Y=y) = \sum_x p(x,y) \tag{1E}$$
• Para o caso contínuo

$$f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy\\f(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dx \tag{1F}$$
X e Y são variáveis aleatórias independentes se:

• no caso discreto:

$$p(x,y) = p(x) p(y) \tag{1G}$$
• no caso contínuo:

$$f(x,y) = f(x) f(y) \tag{1H}$$
Exemplo de função de probabilidade conjunta (caso discreto)

Seja um vetor de variáveis aleatórias:

$$X = \begin{bmatrix} X_1\\X_2\\X_3 \end{bmatrix}$$
Onde:

$$X_i = \begin{cases} 1 & \text{se sucesso}\\ 0 & \text{se falha} \end{cases}$$
Considera-se $P(\text{sucesso}) = p$

Sela a função de probabilidade conjunta conforme tabela a seguir.

x1 x2 x3 p(x1, x2, x3)
0 0 0 (1 − p)3
0 0 1 p(1 − p)2
0 1 0 p(1 − p)2
0 1 1 p2(1 − p)
1 0 0 p(1 − p)2
1 0 1 p2(1 − p)
1 1 0 p2(1 − p)
1 1 1 p3


Então, a função de probabilidade marginal para X2 é dada por:

$$p(x_2) = \begin{cases} (1 − p)^3 + p(1 − p)^2 + p(1 − p)^2 + p^2(1 − p) = 1 − p & \text{se } x_2 = 0\\ p(1 − p)^2 + p^2(1 − p) + p^2(1 − p) + p^3 = p & \text{se } x_2 = 1 \end{cases}$$

Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Fev/2018