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Probabilidades e Estatística II-00

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Tópicos: Variável Aleatória | Função de Distribuição | Função de Densidade |


1) Variável Aleatória

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Seja S o conjunto que contém todos os eventos de um determinado experimento que se deseja estudar. Uma variável aleatória é uma função que atribui um número real a cada evento em S, segundo o critério que se deseja observar.

Exemplo 1-I: um dado é jogado e o critério a observar é o número da face voltada para cima. Então o conjunto S é dado por

$S = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$

Uma variável aleatória X(w) para esse critério pode ter uma correspondência direta, isto é, $X(w) = w$, onde w é um elemento de S.

Exemplo 1-II: se, no exemplo anterior, o critério é número par ou ímpar da face voltada para cima, o conjunto S é o mesmo e uma variável aleatória Y(w) pode ser definida como:

$Y(w) = 0$ se w é par
$Y(w) = 1$ se w é ímpar

Pode-se usar a notação de transformação para a variável aleatória:

$X:S \rightarrow R$

De forma abreviada, pode ser usada a notação:

$X = x$

Indicando o conjunto de todos os elementos w de S tais que $X(w) = x$. E a respectiva probabilidade pode ser escrita:

$P(X = x)$

Variáveis aleatórias podem ser unidimensionais ou ter mais de uma dimensão. Podem também ser discretas quando o número de valores que podem assumir é finito (ou infinito de forma enumerável) ou contínuas nos demais casos.


2) Função de Distribuição

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Seja X uma variável aleatória unidimensional. A correspondente função de distribuição acumulada (ou simplesmente função de distribuição), simbolizada por FX (ou simplesmente F) é dada por:

$$F(x) = P( X \leq x) \tag{2A}$$
Dependendo da faixa de variação dos valores da variável aleatória, a função de distribuição pode ser limitada (exemplo: $0 < x < +\infty$) ou ilimitada ($-\infty < x < +\infty$). De acordo com o tipo de valores da variável aleatória, ela pode ser discreta ou contínua.

Algumas propriedades da função de distribuição (considerando a < b):

$$0 \leq F(x) \leq 1 \tag{2B}$$
$$F(a) \leq F(b) \tag{2C}$$
$$\lim_{x \rightarrow -\infty} F(x) = 0 \tag{2D}$$
$$\lim_{x \rightarrow +\infty} F(x) = 1 \tag{2E}$$
$$P( a < X \leq b ) = F(b) - F(a) \tag{2F}$$
$$P( a \leq X < b ) = F(b) - F(a) + P( X = a ) - P( X = b ) \tag{2G}$$
$$P( a \leq X \leq b ) = F(b) - F(a) + P( X = a ) \tag{2H}$$
$$P( a < X < b ) = F(b) - F(a) - P( X = b ) \tag{2I}$$

Exemplo 2-I (fonte: prova IRB 2004): Uma amostra de tamanho 200 com valores possíveis 0, 1, 2, 3 e 4 produziu a função de distribuição empírica seguinte:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ 0,325 & \text{se } 0 \leq x < 1\\ 0,650 & \text{se } 1 \leq x < 2\\ 0,850 & \text{se } 2 \leq x < 3\\ 0,975 & \text{se } 3 \leq x < 4\\ 1 & \text{se } x \geq 4 \end{cases}$$
Assinale a opção que dá o número de observações amostrais iguais a 3:

(a) 195 | (b) 170 | (c) 130 | (d) 65 | (e) 25

Solução: para valores iguais a 3, a probabilidade deve ser P( 2 < x ≤ 3) = 0,975 − 0,850 = 0,125 (de acordo com as propriedades acima). E o número de observações deve ser igual à essa probabilidade multiplicada pelo tamanho da amostra, isto é, 0,125 × 200 = 25. Resposta (e).


3) Função de Densidade

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Este conceito e o anterior de função de distribuição podem ser demonstrados com a ajuda do exemplo numérico a seguir.

Sejam dois dados jogados de uma só vez. A soma dos números das faces voltadas para cima é o elemento que se deseja estudar. Pode-se concluir que os valores dessa soma são números inteiros entre 2 e 12. Há, portanto, uma variável aleatória discreta X, que pode assumir 11 valores xi conforme tabela abaixo.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P( X = xi ) = p(xi) 0,028 0,056 0,083 0,111 0,139 0,167 0,139 0,111 0,083 0,056 0,028
P( X = xi ) acum = F(xi) 0,028 0,083 0,167 0,278 0,417 0,583 0,722 0,833 0,917 0,972 1,000

As probabilidades de cada valor podem ser calculadas, uma vez que, em cada jogada, há 6 x 6 = 36 combinações possíveis (exemplo: o resultado 2 só pode ser 1 + 1. Assim, probabilidade 1/36 ≈ 0,028. O resultado 3 pode ser 1 + 2 ou 2 + 1, isto é, 2 combinações ou 2/36 ≈ 0,056. E de forma similar para os demais).

O gráfico da última linha da tabela, isto é, das probabilidades acumuladas, é dado em (a) da Figura III-1. Nota-se que ele representa a própria função de distribuição segundo o tópico anterior: a soma das probabilidades até o índice i é igual à probabilidade de X ≤ xi.

Função de distribuição e função de densidade
Fig III-1

Considera-se agora a hipótese de aumento do número de faces dos dados. Os limites superior e inferior do gráfico são mantidos porque probabilidade só pode variar de 0 a 1. Haverá então uma quantidade maior de valores entre esses extremos. Se o número de faces cresce indefinidamente, o resultado será uma curva contínua conforme indicado de forma aproximada pela linha tracejada do gráfico. Ou seja, será a função de distribuição para uma variável aleatória contínua.

O gráfico (b) da Figura III-1 dá as probabilidades individuais, isto é, a terceira linha da tabela anterior. A função pode ser indicada por:

$$p(x_i) = P( X=x_i) \tag{3A}$$
Considerando que essa função é uma probabilidade e que a probabilidade do conjunto universo é unitária, pode-se deduzir as propriedades:

$$0 \leq p(x_i) \leq 1 \tag{3B}$$
$$\sum_i p(x_i) = 1 \tag{3C}$$
A função $p(x_i)$ é denominada função de probabilidade da variável aleatória discreta X. A sua relação com a função de distribuição é:

$$F(x_i) = \sum_{j=1}^i p(x_j) \tag{3D}$$
A curva tracejada indica a tendência para uma variável aleatória contínua conforme já visto para a função de distribuição. Considera-se agora a função:

$f(x_i) = p(x_i) / \Delta x$

Ou, no caso contínuo,

$f(x) = p(x) / dx$

Além da propriedade $f(x) \ge 0$ (porque a probabilidade é maior ou igual a zero), ocorre também:

$$\int f(x) dx = 1$$
De forma análoga ao somatório do caso discreto. Pode-se também demonstrar que a relação com a função de distribuição é:

$$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt \tag{3E}$$
Essa função (f) é denominada função de densidade de probabilidade (ou simplesmente função de densidade) da variável aleatória contínua X.

Desde que fisicamente a integral pode ser interpretada pela área sob a curva, pode-se dizer que a área sob a curva da função de densidade entre dois pontos genéricos a e b indica a probabilidade de a variável aleatória estar entre esses dois valores. Se a e b são os extremos (−∞ e +∞), a probabilidade é de todo o conjunto, ou seja, 1. Assim, a área total sob a curva da função de densidade é unitária.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Jan/2018