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Probabilidades e Estatística I-20 — Anexo 2



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1) Teorema de Bayes & Milagres?

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Repete-se aqui a formulação do Teorema de Bayes dada na página principal:
$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)\ P(B_i)}{P(B_1)P(A|B_1) + \cdots + P(B_n)P(A|B_n)} \tag{1A}$$ Considerando que Bi são eventos mutuamente exclusivos (disjuntos), o teorema dá a probabilidade de um evento Bi ocorrer dado que o evento A ocorre em função das próprias probabilidades individuais de Bi e das probabilidades de A ocorrer dado que Bi ocorre.

No passado houve tentativas de usar o teorema para provar eventos sobrenaturais. A formulação a seguir tem este link como origem. Sejam então os eventos:

M Milagre ocorre
NMilagre não ocorre
THá testemunha

Desde que M e N são eventos disjuntos, pode-se usar (1A) para calcular a probabilidade de um milagre dado que há testemunha:
$$P(M|T) = {P(T|M)\ P(M) \over P(M)\ P(T|M) + P(N)\ P(T|N)} \tag{1B}$$ São consideradas as hipóteses:

• Se o milagre ocorre, a probabilidade de testemunha é alta. Assim, P(T|M) deve ser perto de 1.

• Milagres são raros. Assim, a probabilidade de não ocorrer P(N) deve ser perto de 1.

Portanto, esses termos podem ser eliminados de (1B) e a relação é simplificada na aproximação:
$$P(M|T) \approx {P(M) \over P(M) + P(T|N)} = {1 \over 1 + K} \tag{1C}$$ Onde,
$$K = {P(T|N) \over P(M)} \tag{1D}$$ Para que a probabilidade de milagre dado que há testemunha P(M|T) seja a maior possível (1, evento certo), deve-se ter K = 0, ou seja, a probabilidade de haver testemunha sem milagre P(T|N) deve ser nula, o que não acontece.

Supõe-se agora que, em vez de milagre, o evento M seja outra coisa como:

• Um assassinato
• Um gato de cinco patas
• Um super-homem

O teorema não muda e os números serão os mesmos se as hipóteses forem as mesmas. Ou seja, ele não transforma eventos fictícios em reais.

Ciência trabalha com a realidade do Universo. Apesar das tentativas, não há como usá-la para demonstrar eventos ou entidades criadas pela imaginação humana, dissociadas da matéria e da energia.
Topo | 08/20 | Referências:
Apostol, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
Grinstead, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.