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Probabilidades e Estatística I-20

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Tópicos: Probabilidade Condicional e Eventos Independentes | Teorema de Bayes | Fórmula de Bernoulli |


1) Probabilidade Condicional e Eventos Independentes

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Há casos em que se deseja saber a probabilidade de um evento A, desde que ocorra um outro evento B. Ela é denominada probabilidade condicional, isto é, probabilidade de A dada a ocorrência de B, que é simbolizada por:

$$P(A | B) \tag{1A}$$
Desde que B deve necessariamente ocorrer, o conjunto B pode ser considerado um espaço amostral restrito para este caso. E o evento a considerar não é todo o conjunto A, mas apenas os elementos de A que também estão em B, isto é, a interseção de A e B. Então a probabilidade é calculada por:

$$P(A | B) = \frac{n_{A \cap B}}{n_B} \tag{1B}$$
Se numerador e denominador são divididos pelo número de elementos no espaço amostral comum a todos (S), a probabilidade condicional fica definida em função de outras probabilidades:

$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \tag{1C}$$

Exemplo 1-I: seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} o espaço amostral do lançamento de um dado ideal. Consideram-se os eventos:

• resultado 3, 4 ou 6: A = {3, 4, 6}. Portanto, P(A) = 3/6 = 1/2

• resultado par: B = {2, 4, 6}. Portanto, P(B) = 3/6 = 1/2

A interseção é: $A \cap B = \lbrace 4, 6 \rbrace$. Portanto, $P(A \cap B) = 2/6 = 1/3$. E a probabilidade de resultado 3, 4 ou 6 dado que é par é calculada por: $P(A | B) = (1/3) / (1/2) = 2/3$


Voltando à igualdade (1C), pode-se concluir que, se o evento A não depende do evento B, a probabilidade de A condicionada à ocorrência de B deve ser igual à probabilidade de A, ou seja,

$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A) \tag{1D}$$
Reagrupando essa igualdade, obtém-se a definição, isto é, se A e B são eventos independentes,

$$P(A \cap B) = P(A) P(B) \tag{1E}$$
No exemplo 01 anterior, $P(A \cap B) = 1/3 \neq P(A) P(B) = 1/4$. Portanto, os eventos não são independentes.


Exemplo 1-II: duas moedas ideais são jogadas. Verificar se os eventos cara na primeira e cara na segunda são independentes.

Supondo c cara e r coroa, o espaço amostral é S = {cc, cr, rc, rr}

Se A é o evento cara na primeira, A = {cc, cr} e P(A) = 1/2

Se B é o evento cara na segunda, B = {cc, rc} e P(B) = 1/2

$A \cap B = \lbrace cc \rbrace$. Portanto, $P(A \cap B) = 1/4 = P(A) P(B)$. Assim, os eventos A e B são independentes (isso pode ser deduzido fisicamente porque o resultado de uma moeda não interfere no resultado da outra).


Exemplo 1-III: em um baralho comum de 52 cartas, verificar se os eventos retirar um ás e retirar uma carta de ouro são independentes.

O espaço amostral S é formado pelas 52 cartas, cada uma com probabilidade 1/52.

Considerando A = retirar um ás, P(A) = 4/52 = 1/13

Considerando B = retirar uma carta de ouro, P(B) = 13/52 = 1/4

A interseção é retirar um ás de ouro e, portanto, $P(A \cap B) = 1/52$. Calculando o produto, P(A) P(B) = (1/13) (1/4) = 1/52 = P(A ∩ B). Portanto, os eventos são independentes.


2) Teorema de Bayes

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Seja a probabilidade condicional, conforme já vista no tópico anterior, P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Para B em relação a A, P(B | A) = P(B ∩ A) / P(A). Desde que A ∩ B = B ∩ A, pode-se combinar as igualdades e chegar a uma fórmula relaciona as duas probabilidades condicionais:

$$P(B|A) = \frac{P(A|B)\ P(B)}{P(A)} \tag{2A}$$
O teorema de Bayes é a relação anterior aplicada a uma sequência de n eventos mutuamente exclusivos B1, B2, ... , Bn no lugar de um único evento B:

$$P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)\ P(B_i)}{P(B_1)P(A|B_1) + \cdots + P(B_n)P(A|B_n)} \tag{2B}$$

Exemplo 2-I: uma fábrica tem 3 linhas de produção para o mesmo produto com os seguintes resultados:

Linha 1: produz 60% do total com um percentual de defeito de 1%
Linha 2: produz 30% do total com um percentual de defeito de 2%
Linha 3: produz 10% do total com um percentual de defeito de 3%

Pode-se considerar os eventos:

B1: o produto foi produzido na linha 1
B2: o produto foi produzido na linha 2
B3: o produto foi produzido na linha 3

Esses eventos são disjuntos porque um produto não pode ser produzido por mais de uma linha. E as probabilidades são:

P(B1) = 60/100 = 0,6
P(B2) = 30/100 = 0,3
P(B3) = 10/100 = 0,1

Supondo evento A igual a produto defeituoso,

P(A | B1) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 1 = 1/100 = 0,01
P(A | B2) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 2 = 2/100 = 0,02
P(A | B3) = probab prod defeituoso dado que produzido na linha 3 = 3/100 = 0,03

Portanto, com os dados acima, o teorema de Bayes permite calcular a probabilidade de o produto ter sido produzido em uma determinada linha, $P(B_i | A)$, considerando que está defeituoso.


3) Fórmula de Bernoulli

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Experimento composto é uma sequência de experimentos independentes associados ao mesmo espaço amostral (exemplos: um dado ou uma moeda jogados repetidamente). Considera-se um experimento composto em que cada experimento só pode resultar nos eventos sucesso ou falha. Sejam dados:

p: probabilidade de sucesso
q: probabilidade de falha

Desde que somente esses resultados são possíveis, deve ocorrer sempre $p + q = 1$.

Se o evento A significa k sucessos em n experimentos, o teorema de Bernoulli dá a probabilidade desse evento:

$$P(A) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \tag{3A}$$
O primeiro termo após o sinal de igualdade é o coeficiente binomial:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \tag{3B}$$

Exemplo 3-I: uma moeda ideal é jogada 50 vezes. Calcular a probabilidade de 25 caras. Solução: os dados são n = 50, k = 25, p = q = 1/2. Calculando segundo fórmula anterior, P = 0,112


Se B significa pelo menos s sucessos em n experimentos, a sua probabilidade é:

$$P(B) = \sum_{k=s}^n \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \tag{3C}$$

Voltando ao evento A anterior, o valor de k que resulta em maior probabilidade é dado por:

• se (n + 1)p não é inteiro, k = maior inteiro < (n + 1)p

• se (n + 1)p é inteiro, k = (n + 1)p e também k = (n + 1)p − 1


Exemplo 3-II: um par de dados é jogado 28 vezes. Qual o mais provável número de resultados (soma de ambos) iguais a sete? Solução: os parâmetros disponíveis são n = 28, p = 1/6. Calculando, (n + 1)p ≈ 4,83. Portanto, k = 4
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Set/2009