Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Probabilidades e Estatística I-10

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Probabilidade e Conceitos Relacionados | Probabilidade e Espaço Amostral |


1) Probabilidade e Conceitos Relacionados

(Topo | Fim pág)

Frequência relativa (rA) de um evento A é a razão entre o número de vezes em que esse evento se repete (nA) e o número total (n) de eventos que for tomado como referência:

$$r_A = \frac{n_A}{n} \tag{1A}$$
Exemplo: em um lote de 500 peças produzidas, há 20 defeituosas. Se A é o evento "peça com defeito" e a referência é todo o lote, a freqüência relativa de peças defeituosas é

$20/500 = 0,04 = 4\text %$

Pode-se concluir que a frequência relativa é um número positivo entre 0 e 1 (ou entre 0 e 100, se multiplicado por 100 para resultado percentual).

Para a definição de probabilidade, toma-se a ajuda do caso particular da moeda ideal, que seria uma moeda de material perfeitamente homogêneo, de simetria perfeita entre faces e de espessura desprezível, de forma que as chances de cara e de coroa sejam iguais, sem outras possibilidades. Na noção intuitiva, diz-se que a probabilidade de cara (que é igual à de coroa) de uma moeda ideal é 0,5 (ou 50%). Mas, se a moeda for jogada 4 vezes por exemplo, a frequência relativa não será necessariamente 0,5 para cada (2 caras e 2 coroas). Embora essa seja a mais provável, podem ocorrer outras combinações (1 cara e 3 coroas, etc). Entretanto, com o aumento do número de jogadas, a frequência relativa para cara e para coroa tende a se aproximar de 0,5.

E a definição clássica de probabilidade é dada pelo limite da frequência relativa:

$$P(A) =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n_A}{n} \tag{1B}$$
A probabilidade de um evento A, P(A), é dada, portanto, pelo limite da sua frequência relativa quando o número de observações tende para infinito.

Da definição, conclui-se que, para qualquer A,

$$0 \leq P(A) \leq 1 \tag{1C}$$

Espaço amostral é um conjunto que contém todos os resultados possíveis de um experimento. Assim, no contexto desse experimento, ele é considerado o conjunto universal e simbolizado por S. Exemplos a seguir.

• no jogo de uma moeda, se convencionado "c" resultado cara e "r" resultado coroa, o espaço amostral é

$S = \lbrace c, r \rbrace$

• no jogo de um dado, se o resultado a estudar é o número da face voltada para cima, o espaço amostral é

$S = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$


Num conceito mais amplo, evento é definido como um subconjunto qualquer do espaço amostral. Portanto, um evento pode representar mais de um resultado. Exemplos:

• no jogo de dado, se o evento A significa resultado igual a 2:

$A = \lbrace 2 \rbrace$

• no mesmo jogo, se o evento B significa resultado par:

$B = \lbrace 2, 4, 6 \rbrace$


A seguir, algumas relações entre espaços amostrais, eventos e probabilidades.

• Se A é um evento do espaço amostral S, segundo notação de conjuntos, $A \subset S$.

• Se $A = S$, ele é dito evento certo. Assim, $P(A) = 1$ (a probabilidade do evento certo é 1).

• Se $A = \emptyset$, ele é dito evento impossível e, portanto, $P(A) = 0$ (a probabilidade do evento impossível é nula).


2) Probabilidade e Espaço Amostral

(Topo | Fim pág)

Se A é um evento do espaço amostral S e se todos os elementos de S têm a mesma probabilidade, pode-se definir a probabilidade de A pela relação entre o número de elementos em A e o número de elementos em S:

$$P(A) = \frac{n_A}{n_S} \tag{2A}$$
Exemplo: para um dado, o espaço amostral é $S = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$. Se A é o evento resultado maior que 4 e o dado é ideal (todos os elementos têm a mesma probabilidade),

$A = \lbrace 5, 6 \rbrace \therefore P(A) = 2/6 = 1/3$


Seguem relações básicas, algumas das quais já vistas no tópico anterior.

Para qualquer evento A,

$$0 \leq P(A) \leq 1 \tag{2B}$$
$$P(\emptyset) = 0 \tag{2C}$$
$$P(S) = 1 \tag{2D}$$
$$P(A^c) = 1 - P(A) \tag{2E}$$
$$A \subset B \longrightarrow P(A) \leq P(B) \tag{2F}$$
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \tag{2G}$$

Dessa relação, conclui-se que, se A e B são disjuntos (ou mutuamente exclusivos), $A \cap B = \emptyset$. Assim,

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \tag{2H}$$
Essa igualdade pode ser estendida para qualquer número de eventos disjuntos A1, ... , An:

$$P(A_1 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + \cdots + P(A_n) \tag{2I}$$


Exemplo: seja o espaço amostral $S = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \rbrace$ de um dado ideal.

O evento resultado par é dado por:

$A = \lbrace 2, 4, 6 \rbrace \therefore P(A) = 3/6 = 1/2$

O evento resultado igual a 3 é dado por:

$B = \lbrace 3 \rbrace \therefore P(B) = 1/6$

A e B são disjuntos porque não têm elementos comuns. Então, a probabilidade de resultado par ou resultado igual a 3 é

$P(A) + P(B) = 1/2 + 1/6 = 2/3$
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Jan/2018