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Probabilidades e Estatística I-00

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Tópicos: Conjuntos |


1) Conjuntos

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• Conjunto universal ou simplesmente universo é o que contém todos os elementos ou eventos que serão objetos de análise. Aqui é usado o símbolo S para o conjunto universal (a letra U é também usada). Exemplos de conjunto universal: as pessoas de uma cidade cuja população é objeto de estudo, todas as combinações possíveis de um determinado jogo, etc.

Esses exemplos se referem a conjuntos de finitos elementos. Os conjuntos podem ter infinitos elementos. Exemplo: todos os números maiores que zero.

Na analogia gráfica, um conjunto pode ser representado por uma determinada área. Na Figura I-1, supõe-se que a área de cor cinza representa o conjunto universal S.


• Subconjunto de outro é um conjunto cujos elementos são também elementos desse outro. Em (a) da Figura I-1, A e B são subconjuntos de S. Notação: para indicar que A é subconjunto de S, usa-se:

$$A \subset S \tag{1A}$$
Essa expressão é lida na forma: "A está contido em S". Todo conjunto é um subconjunto de si mesmo.


• Superconjunto de outro é um conjunto que contém todos os elementos desse outro. A notação clássica é:

$$S \supset A \tag{1B}$$
Indica que S é um superconjunto de A. Pode ser também lida "S contém A". De forma análoga, todo conjunto é também um superconjunto seu.


• Elementos de um conjunto podem ser simbolizados por letras ou números com ou sem índices. A notação comum usa chaves segundo exemplo a seguir.

$$A = \lbrace a, b, c, d\rbrace \tag{1C}$$
Indica que o conjunto A é formado pelos elementos "a", "b", "c" e "d".

Para indicar que um elemento pertence ou não a um conjunto, usam-se os símbolos:

→ a é elemento do conjunto A:

$$a \in A \tag{1D}$$
→ a não é elemento do conjunto A:

$$a \notin A \tag{1E}$$
Algumas operações de conjuntos
Figura I-1

• Conjunto vazio é um conjunto sem elementos. Pode-se então deduzir que ele é subconjunto de qualquer outro. Se V é um conjunto vazio, então:

$$V = \emptyset \tag{1F}$$

• União de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos de um ou de outro ou de ambos. A parte (a) da Figura I-1 dá uma ilustração gráfica dos conjuntos A e B. Em (b) da mesma figura, a união deles. Simbologia usual:

$$A \cup B \tag{1G}$$

• Interseção de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ambos. A parte (c) da Figura I-1 exibe a ilustração gráfica da interseção dos conjuntos A e B anteriores. Símbolo de praxe:

$$A \cap B \tag{1H}$$
Em (e) da Figura I-1, os conjuntos A e C não têm elementos comuns. Portanto, s interseção deles é o conjunto vazio conforme (e) da mesma figura.


• Complemento (ou complemento absoluto) de um conjunto é o conjunto formado pelos elementos que não lhe pertencem e pertencem ao conjunto universal. O complemento de um conjunto A é simbolizado por:

$$A^c \mathrm{\ ou\ } A' \mathrm{\ ou\ } \overline{A} \tag{1I}$$
Indicação gráfica do complemento do conjunto A anterior é dada em (d) da Figura I-1. Do conceito de complemento, podem ser deduzidas as relações a seguir.

$$A \cup A^c = S \tag{1J}$$
$$A \cap A^c = \emptyset \tag{1K}$$
$$(A^c)^c = A \tag{1L}$$
$$\emptyset^c = S \tag{1M}$$
$$S^c = \emptyset \tag{1N}$$

• Complemento relativo é basicamente o conceito anterior de complemento, com o conjunto universal substituído por outro genérico. Sejam, por exemplo, os conjuntos A e B. O complemento relativo de B em A é a diferença entre eles, isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não a B. Símbolos usados são barra invertida (\) ou sinal de subtração (−).

$$A \setminus B = A - B = \lbrace x \in A : x \notin B \rbrace \tag{1O}$$

Então, o complemento absoluto pode ser dado por:

$$A^c = S \setminus A = S - A \tag{1P}$$

• Eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos são eventos que pertencem a conjuntos de interseção vazia. Na prática, significa que, se um ocorre, outro não pode ocorrer.


• Um conjunto é dito fechado sob alguma operação se essa operação aplicada a seus elementos resultam em elementos do conjunto. Exemplo: o conjunto dos números reais é fechado para a operação de subtração, mas o conjunto dos números naturais (inteiros maiores ou iguais a zero) não é porque o resultado de uma subtração pode ser negativo.


• σ-álgebra (sigma-álgebra) de um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X que é fechada para complementos e uniões de seus membros.

Exemplo: seja $X = \lbrace a, b, c, d\rbrace$. O conjunto abaixo é um possível σ-álgebra de X.

$$\Sigma = \big\lbrace\lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace a,b \rbrace, \lbrace c,d \rbrace, \lbrace a,b,c,d \rbrace \big\rbrace \tag{1Q}$$
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
GRINSTEAD, Charles M. SNELL, J. Laurie. Introduction to Probability.
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

Topo | Rev: Jan/2018