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Vetores IX-A

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Tópicos: Produto Escalar e Produto Interno | Observações |


1) Produto Escalar e Produto Interno

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Conceitos de produto escalar já foram dados nesta página. Para dois vetores tridimensionais, repete-se a fórmula da página mencionada, com uso de índices nos componentes conforme página anterior:

$$\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \tag{1A}$$
Na forma resumida, como somatório,

$$\vec u \cdot \vec v = \sum_i u_i v_i \tag{1B}$$
Também visto que a magnitude de um vetor pode ser dada em função do produto escalar:

$$|\vec u| = \sqrt{\vec u \cdot \vec u} = \sqrt{\sum_i u_i^2} \tag{1C}$$
Para vetores de números complexos, essa formulação não é mais válida porque resulta em comprimento imaginário (j2 = −1, onde j é a unidade imaginária).

Numa formulação mais abrangente, usa-se o conceito de produto interno, que considera o conjugado complexo (indicado por *) para o primeiro vetor:

$$\langle \vec u | \vec v \rangle = \sum_i u_i^* v_i \tag{1D}$$
Observa-se a notação do colchete angular e barra vertical, $\langle | \rangle$.Assim, o comprimento de um vetor será sempre um número real e positivo, considerando a raiz de mesmo sinal:

$$|\vec u| = \sqrt{\langle \vec u | \vec u \rangle} = \sqrt{\sum_i |u_i|^2} \tag{1E}$$
Considerando agora o conceito visto na página anterior de função como vetor de infinitas dimensões, o produto interno de duas funções genéricas é definido de modo similar, com uso de integral no lugar da soma:

$$\langle f(x) | g(x) \rangle = \int f^* (x)\ g(x)\ dx \tag{1F}$$
No caso de função, usa-se o termo norma (com notação em barra dupla ||) para conceito similar ao comprimento do vetor, dado em (1E):

$$\Vert f(x) \Vert = \sqrt{\langle f(x)|f(x)} \rangle = \sqrt{\int |f(x)|^2 dx} \tag{1G}$$

Uma função (ou vetor) é dita normalizada se a norma é unitária:

$$\Vert f(x) \Vert = 1 \tag{1H}$$
Duas funções (ou vetores) são ditas ortogonais se o produto interno é nulo:

$$\langle f(x) | g(x) \rangle = 0 \tag{1I}$$
Duas funções (ou vetores) normalizadas e ortogonais entre si, são ditar ortonormais. Esse conceito também se aplica a conjuntos de funções. Assim, f(x), g(x), h(x), ... são ortonormais se:

$$\Vert f(x) \Vert = \Vert g(x) \Vert = \Vert h(x) \Vert = \cdots = 1\\\langle f(x) | g(x) \rangle = \langle f(x) | h(x) \rangle = \langle g(x) | h(x) \rangle = \cdots = 0 \tag{1J}$$


2) Observações

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A definição anterior de produto interno é um caso particular. As fontes consultadas definem de modo abrangente: um espaço linear V é dito ter um produto interno se, para cada par de elementos x e y em V, existe um único número real (x, y) satisfazendo os seguintes axiomas para todos os x y z em V e todos os reais escalares a:

Propriedade comutativa ou simetria:
$$(x,y) = (y,x) \tag{2A}$$
Propriedade distributiva ou linearidade:
$$(x,y+z) = (x,y)+(x,z) \tag{2B}$$
Propriedade associativa ou homogeneidade:
$$a(x,y) = (ax,y) \tag{2C}$$
Positividade:
$$(x,x) > 0\quad\text{se}\quad x \ne 0 \tag{2D}$$
Referências
Apostol, Tom M. Calculus. USA, Blaisdell, 1969.
PlanetMath, https://planetmath.org/.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow, Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Ago/2019