Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |


Vetores VIII

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Exemplo |


Exemplo

(Topo | Fim pág)

Este tópico é um exemplo de questão de prova, que usa alguns conceitos dados nesta série de páginas.

Consideram-se as funções f: R2 → R e também g: R2 → R, definidas por:

$$f(x,y) = \mathrm e^x \sin y\\g(x,y) = \mathrm e^x \cos y$$
Sejam os respectivos vetores gradientes:

$$\nabla f(x,y) = \Big(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \Big)\\ \nabla g(x,y) = \Big(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y} \Big)$$
Os itens a seguir devem ser julgados certo ou errado.


(a) A função $G(x, y) = f(x, y) - g(x, y)$ não tem ponto crítico, isto é, não existe nenhum ponto $(x_0, y_0)$ em que as derivadas parciais de primeira ordem da função G se anulam simultaneamente.

Para a solução determinam-se as derivadas parciais,

$$\partial f/\partial x = \mathrm e^x \sin y\\\partial f/\partial y = \mathrm e^x \cos y\\\partial g/\partial x = \mathrm e^x \cos y\\\partial g/\partial y = -\mathrm e^x \sin y$$
Para a função G(x, y), com a substituição dos valores acima,

∂G(x, y) / ∂x = ex sin y − ex cos y = ex (sin y − cos y)

∂G(x, y) / ∂y = ex cos y + ex sin y = ex (sin y + cos y)

Para essas derivadas parciais nulas, deve-se ter:

sin y = cos y
sin y = −cos y

Essas relações não podem ocorrer com o mesmo y e, portanto, a resposta é certo.


(b) Em qualquer ponto (x, y) de R2, tem-se que os vetores gradientes de f(x, y) e de g(x, y) são paralelos.

Para a solução, determinam-se os vetores gradientes com uso das derivadas parciais anteriores:

$$\nabla f(x,y) = (\mathrm e^x \sin y, \mathrm e^x \cos y)\\\nabla g(x,y) = (\mathrm e^x \cos y, -\mathrm e^x \sin y)$$
O produto escalar desses vetores é ex sin y ex cos y − ex cos y ex sin y = 0. Se o produto escalar é nulo, os vetores são perpendiculares e não paralelos. Portanto, resposta errado.


(c) Se Γ é a curva definida por $\Gamma(t)=[f(t, t), g(t, t)]$, para 0 ≤ t ≤ 2π, então o comprimento dessa curva, nesse intervalo, é igual a $\sqrt 2 \mathrm e^{2 \pi}$ unidades de comprimento.

Para a solução, substituem-se os valores das funções f e g de acordo com a definição dada no início da página:

Γ(t) = (et sin t, et cos t)

Para uma curva genérica (y, x), o comprimento infinitesimal é

(ds)2 = (dy)2 + (dx)2

Para este caso,

y = et sin t
x = et cos t

dy = et cos t dt + et sin t dt = (cos t + sin t) et dt
dx = −et sin t dt + et cos t dt = (cos t − sin t) et dt

(dy)2 = e2t (dt)2 (cos2t + sin2t + 2 sin t cos t)
(dx)2 = e2t (dt)2 (cos2t + sin2t − 2 sin t cos t)

(dy)2 + (dx)2 = 2 e2t (dt)2

Portanto,

$$ds = \sqrt 2\ \mathrm e^t dt$$
O comprimento da curva é dado pela integração no intervalo:

$$s = \int ds = \int_0^{2\pi}\sqrt 2\ \mathrm e^t dt = \sqrt 2\ \mathrm e^{2\pi} - \sqrt 2\ \mathrm e^0 = \sqrt 2\ (\mathrm e^{2\pi}-1)$$

Portanto, a questão tem resposta errado.


(d) Considera-se a função F(x, y) definida por $F(x, y) = f(x, y) + g(x, y)$. Então o volume do sólido que está acima do plano xOy, limitado superiormente pelo gráfico de F restrita ao retângulo Q determinado pelos intervalos 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ π/2, pode ser expresso pela integral dupla que se resolve calculando as integrais simples na ordem mostrada a seguir.

$$\iint_Q \mathrm e^x (\sin y + \cos y) dx \ dy = \int_0^1 \Big[\int_0^{\pi/2} \mathrm e^x (\sin y + \cos y) dx \Big] dy$$

Para a resposta, determina-se a função F(x, y) = ex (sin y + cos y), que está de acordo com a fórmula apresentada. Entretanto, o intervalo de integração de x deve ser 0 a 1 e o de y, 0 a π/2. Assim,

$$\iint_Q \mathrm e^x (\sin y + \cos y) dx \ dy = \int_0^{\pi/2} \Big[\int_0^1 \mathrm e^x (\sin y + \cos y) dx \Big] dy$$

Portanto, resposta da questão deve ser errado.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008