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Vetores VII

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Tópicos: Integral de Superfície | Integral de Superfície com Vetores |


1) Integral de Superfície

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Seja uma superfície genérica S e uma função f(x, y). A integral de superfície dessa função em S é dada por:

$$\iint_S f(x,y) dS = \lim_{\Delta S\rightarrow0} \sum f(x,y) \Delta S \tag{1A}$$

Se S é uma superfície plana, dS = dx dy. Então, a integral de superfície pode ser geometricamente vista como o volume entre S e a superfície definida por f(x, y).

Limites para Integral de Superfície
Fig 1-I

Assim, é necessário definir um contorno que limita os valores de x e y para o cálculo da integral de superfície. A Figura 1-I (a) dá um exemplo genérico. E o cálculo do volume é feito pela divisão em integrais simples.

$$V = \iint_S f(x,y) dS = \int_{y1}^{y2} \Big[\int_{x1(y)}^{x2(y)} f(x,y) dx \Big] dy \tag{1B}$$


Exemplo 1: para a função z = f(x, y) = x2 y, calcular o volume entre a superfície definida por f(x, y) e o plano xy no contorno triangular definido pelos pontos (0,0), (0,1) e (1,0) conforme Figura 1-I (b).

Para a solução, considera-se a permuta de x com y em (1B) e, em (b) da Figura 1-I, a variação de y, para cada x, entre 0 e o ponto na reta dada por y = 1 − x. Determina-se então a integral interna (entre colchetes):

$$\int_0^{1-x} x^2 y dy = x^2 y^2 / 2 \Big\vert_{y=0}^{y=1-x} = x^2 (1-x)^2 / 2$$

Determina-se agora a outra integral, correspondente ao volume desejado:

$$V = \iint_S x^2 y dy dx = \int_0^1 (x^2 (1-x)^2/2) dx$$

O cálculo acima é feito com uso de fórmulas simples de integração e não é aqui apresentado. Fica para o(a) leitor(a), se desejar, confirmar o resultado V = 1/60.


Exemplo 02: elipsoide é o sólido definido por x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1. Determinar o seu volume.

Para a solução, rearranja-se essa equação:

$$z = f(x,y) = c \sqrt{1 - x^2/a^2 - y^2/b^2}$$
Essa função representa a metade do sólido, uma vez que a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa. Multiplicando por 2, isolando a constante c e substituindo em (1B),

$$V = 2 c \iint_S \sqrt{1 - x^2/a^2 - y^2/b^2}\ dS$$
O contorno para integração é a curva no plano xy, isto é, para z = 0. Portanto, x2/a2 + y2/b2 = 1. Isolando y, tem-se:

$$y = b \sqrt{1 - x^2/a^2}$$
Essa é a equação de uma elipse e os valores de x devem variar entre −a e a e os de y entre −b e b. A simetria do caso permite uma simplificação, ou seja, considera-se um quadrante com x entre 0 e a (portanto, y entre 0 e b) e multiplica-se o resultado por quatro. Tem-se então os limites para integração:

x1 = 0
x2 = a
y1 = 0
$$y2 = b \sqrt{1 - x^2/a^2}$$
Para a segunda parte de (1B), tem-se, com permuta de x e y,

$$V = 2\ c\ 4 \int_0^a \big[ \int_0^{y2} \sqrt{1 - x^2/a^2 - y^2/b^2}\ dy \big] dx$$

Considera-se uma variável auxiliar U tal que y2 = b U. Assim,

$$U = \sqrt{1 - x^2/a^2}$$
Substituindo e simplificando, a integral interna é dada por:

$$U \int_0^{bU} \sqrt{1 - y^2/(Ub)^2}\ dy$$
A solução dessa integral pode ser obtida pela troca de variável tal que y = U b sin t. Portanto, dy = U b cos t dt. Substituindo e simplificando,

$$U^2 b \int_0^{bU} \cos^2 t \ dt$$
Mas os limites devem ser ajustados à transformação:

Para y = 0, 0 = U b sin t. Portanto, t = 0

Para y = bU, bU = U b sin t. Portanto, t = π/2

Substituindo e resolvendo a integral,

$$U^2 b \int_0^{bU} \cos^2 t \ dt = U^2 b \int_0^{\pi/2} \cos^2 t \ dt = (\pi/4) U^2 b$$

Substituindo o valor de U nesse resultado,

$$(\pi/4) b (1 - x^2/a^2)$$
Substituindo agora na igualdade do volume,

$$V = 8\ c \int_0^a (\pi/4) b (1 - x^2/a^2) dx = 2\pi b c \int_0^a(1 - x^2/a^2) dx$$

Resolvendo essa integral, obtém-se o volume da elipsoide:

$$V = (4/3) \pi\ a\ b\ c$$
Para o caso particular de uma esfera de raio R, a = b = c = R. Portanto,

$$V = (4/3) \pi\ R^3$$

2) Integral de Superfície com Vetores

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É comum o uso de integrais de superfície na análise de fenômenos físicos representados por vetores. Exemplo do escoamento de líquidos: seja um líquido escoando com velocidade (vetorial) v através de uma superfície infinitesimal dS. A vazão volumétrica do escoamento através dessa superfície é dada pelo produto da velocidade normal à essa superfície pela sua área, ou seja,

$$dQ = v \cos \phi \ dS \tag{2A}$$
Onde ϕ é o ângulo entre o vetor v e a reta normal à superfície. Mas isso é o produto escalar v·dS, onde dS é o vetor-superfície já visto em página anterior. Então, para uma superfície genérica S atravessada por um fluxo de líquido, a vazão volumétrica é calculada pela integração:

$$Q = \iint_S \vec v \cdot d \vec S \tag{2B}$$
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008