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Vetores VI

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Tópicos: Integral de Linha | Operadores Vetoriais | Vetor-Superfície |


1) Integral de linha

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As linhas na Figura 1-I representam um campo genérico $\vec F(x, y)$. Considera-se uma trajetória genérica 12 nesse campo.

Integral de linha
Fig 1-I

A integral de linha do campo no caminho 12 é a integral do produto escalar do vetor do campo ($\vec F$) pelo vetor deslocamento infinitesimal ($d \vec \ell$)

$$\int_1^2 \vec{F} \cdot d\vec{\ell} \tag{1A}$$
Integrais de linha têm várias aplicações no estudo de campos vetoriais. Exemplos:

• Num campo de força, representa o trabalho executado pela força ao longo da curva.

• Num campo elétrico, equivale à diferença de potencial elétrico entre as extremidades da curva. E conceitos similares em campos eletromagnéticos e outros.

Exemplo simples de cálculo: se 12 é uma circunferência de raio R e $\vec F$ é um vetor de magnitude constante,

$$\int_1^2 \vec{F} \cdot d\vec{\ell} = F\ 2 \pi R$$

2) Operadores vetoriais

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• Operador nabla (também denominado del), para um espaço tridimensional, é definido por:


$$\nabla = \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z} \tag{2A}$$
Não tem significado físico ou geométrico. É somente um operador e precisa de algum complemento para ter sentido.


• Gradiente de uma função escalar $f = f(x, y, z)$ é um vetor definido por:

$$\mathrm{grad\ } f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec i + \frac{\partial f}{\partial y} \vec j +\frac{\partial f}{\partial z} \vec k \tag{2B}$$

A figura a seguir procura dar uma noção gráfica do gradiente. As duas superfícies representam lugares geométricos da função f constante, ou seja,

$$f(x, y, z) = C_1\\ f(x, y, z) = C_2$$
Noção Gráfica de Gradiente
Fig 2-I

Se as diferenças são pequenas, $C_2 - C_1 = df$. A distância entre as duas superfícies em determinado ponto é dn, tomada ao longo da reta normal comum às duas superfícies. O vetor unitário $\vec u_N$ nesse ponto é normal às superfícies. Então o gradiente de f também pode ser dado por:

$$\mathrm{grad\ } f = \vec u_N \frac{df}{dn} \tag{2C}$$
O vetor gradiente indica a máxima variação da função e o sentido que essa variação tem.


• Divergência de uma função vetorial é o produto escalar do operador nabla por essa função. Seja uma função:

$$\vec F(x,y,z) = F_x(x,y ,z) \vec i + F_y(x,y ,z) \vec j + F_z(x,y ,z) \vec k$$

Então,

$$\mathrm{div\ } \vec F = \nabla \cdot \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} \tag{2D}$$

A divergência de um campo vetorial corresponde ao fluxo líquido por unidade de volume.


• Rotacional (curl, em inglês) de uma função vetorial é dado pelo produto vetorial do operador nabla por essa função. Seja a mesma função anterior. Então,

$$\mathrm{rot\ } \vec F = \nabla \times \vec F = \Big(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\Big) \vec i + \Big(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\Big) \vec j + \Big(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\Big) \vec k \tag{2E}$$

O significado físico é uma rotação ou momento angular em uma determinada região do espaço.


3) Vetor-superfície

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Seja, conforme Figura 3-I (a), uma superfície plana de área S. O vetor-superfície $\vec S$ correspondente é um vetor normal, de magnitude igual à sua área, isto é, $\Vert\vec S\Vert = S$.

Exemplo de Vetor Superfície
Fig 3-I

Supõe-se agora o caso particular de duas superfícies planas unidas por uma reta comum. O vetor-superfície para o conjunto é a soma vetorial dos vetores-superfície de cada. Se generalizado para um número qualquer de superfícies planas, o resultado é a soma:

$$\vec S = \sum \vec S_i \tag{3A}$$
Uma superfície curva genérica, como em (b) da mesma figura, pode ser aproximada por um conjunto de faces planas de áreas individuais ΔSi. Então, o vetor-superfície no caso genérico é:

$$\vec S = \sum \Delta \vec S_i \tag{3B}$$
Na situação limite,

$$\vec S = \int d \vec S_i \tag{3C}$$
Pode ser demonstrado que o contorno de uma superfície define o seu vetor-superfície. Isso significa que superfícies de mesmo contorno e de formas geométricas diferentes têm o mesmo vetor-superfície. Como consequência dessa afirmação, para uma superfície fechada qualquer (contorno nulo), $\vec S = 0$.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008