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Vetores V

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Tópicos: Campos Vetoriais - Exemplos e Conceitos |


1) Campos Vetoriais - Exemplos e Conceitos

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No exemplo da figura abaixo, um disco gira com velocidade angular ω constante. Deseja-se saber a função de campo para a velocidade em um ponto genérico (x, y).

Campo Vetorial da Velocidade em um Disco
Fig 1-I

De acordo com os conceitos da mecânica clássica, a velocidade no ponto (x, y) é dada pelo produto vetorial da velocidade angular pelo raio:

$$\vec v = \vec \omega \times \vec R = \vec \omega \times (\vec R_X + \vec R_Y)\\ \vec v = \vec \omega \times \vec R_X + \vec \omega \times \vec R_Y$$
Os vetores $\vec \omega$ e os componentes de $\vec R$ são ortogonais e, portanto, as magnitudes de seus produtos vetoriais são iguais aos produtos das suas magnitudes e as direções são dadas de acordo com a regra da mão direita conforme já visto. Assim, usando o conceito de vetores unitários $\vec i$ e $\vec j$ e considerando as magnitudes dos componentes de $\vec R$ as coordenadas x e y, chega-se à igualdade:

$$\vec v = - \omega y\ \vec i + \omega x\ \vec j$$

Vetores no Campo Vetorial
Fig 1-II

Uma forma de representação gráfica desse campo poderia ser conforme figura acima. Mas ela é pouco prática. Em geral, os campos são representados por linhas de campo (muitas vezes denominadas linhas de força, para campos diretamente relacionados com essa grandeza como campos gravitacionais e elétricos ou, ainda mais especificamente, linhas de indução, para campos magnéticos).

Conforme figura abaixo, uma linha de campo L é uma curva tal que a tangente em qualquer ponto é a direção do vetor de campo $\vec C$ nesse ponto.

Linha de Força ou Linha de Indução
Fig 1-III

Considerando as relações trigonométricas, deduz-se que, para qualquer (x, y) em L, vale:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{C_y}{C_x}$$
Para o campo de velocidade anterior, as linhas de campo são dadas por

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\omega x}{-\omega y} = - \frac{x}{y}$$
Essa igualdade pode ser escrita como $x dx + y dy = 0$. Fazendo a integração,

$$\int x dx + \int y dy = 0$$
Linhas para o Campo de Velocidade
Fig 1-IV

A solução é $x^2/2 +y^2/2 = \mathrm{constante}$. Reagrupando, $x^2 + y^2 = c$

Essa equação indica uma circunferência de raio c. Portanto, as linhas de campo são circulares e concêntricas, conforme seria esperado. O número de linhas de campo é infinito, pois a constante de integração c pode ser qualquer. Graficamente são representadas de forma similar à Figura 1-IV: com setas para indicação do sentido e mais concentradas à medida que a magnitude do campo aumenta (se este último fosse uniforme, seriam retas paralelas e igualmente espaçadas).

Exemplo de Linhas de Campo
Fig 1-V

A representação gráfica por linhas é mais simples e clara do que o conjunto de vetores da Figura 1-II. Uma tangente à linha indica a direção do vetor de campo naquele ponto (ver Figura 1-IV), e a linha indica a trajetória de um ponto material (ou algo similar) sujeito à ação do campo. As linhas da Figura 1-V correspondem ao campo dado por:

$$\vec C = y \vec i + x \vec j$$
A equação similar à do campo anterior, mas com sinal positivo em ambos os componentes. O resultado, conforme procedimento anterior, é obtido pela solução da equação diferencial: $x^2 - y^2 = c$ (nesse caso, são hipérboles equiláteras).
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008