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Vetores IV

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Tópicos: Função Vetorial | Campos Vetoriais - Introdução |


1) Função Vetorial

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Vetores podem expressar funções vetoriais de forma similar a funções comuns de escalares. No exemplo da figura a seguir, um ponto material P se desloca por uma determinada curva C.

Exemplo de Função Vetorial
Fig 1-I

O vetor $\vec R$, indicativo da posição do ponto, é função do comprimento s, medido em relação a uma extremidade. A velocidade $\vec v$ do deslocamento é um vetor tangente à curva e é função do tempo t, medido em relação a um determinado instante.

Exemplo de Função Vetorial
Fig 1-II

A figura acima dá um exemplo prático de outra função: seja $\vec a$ um determinado vetor. Deseja-se uma função que represente um plano perpendicular a esse vetor.

Há infinitos planos perpendiculares a uma reta. Se é definido um ponto no plano, então esse plano fica determinado. No caso, a extremidade do vetor $\vec b$ define o ponto B no plano. E um ponto genérico P no plano é definido por um vetor $\vec v$ tal que o vetor diferença $\vec v - \vec b$ é perpendicular a $\vec a$. Se são perpendiculares, o produto escalar é nulo. Portanto, a equação de um plano perpendicular a $\vec a$ que passa pelo ponto B, definido por $\vec b$, é dada por:

$$\vec a \cdot (\vec v - \vec b) = 0$$
Nota-se que, nessa função, $\vec a$ e $\vec b$ são as constantes e $\vec v$ é a variável.


2) Campos Vetoriais - Introdução

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Em vários processos físicos, há grandezas que variam de acordo com a posição no espaço e com o tempo. De forma genérica, pode-se dizer que grandezas desse tipo são representadas por uma função, denominada campo, que tem como argumentos as coordenadas (x, y, z) e o tempo t:

$$f(x, y, z, t)$$
Como exemplo de campo, pode-se citar a temperatura do ar da atmosfera. Ela depende da altitude, da posição geográfica, da hora do dia.

A expressão campo variável é usada para designar um campo dependente do tempo, ou seja, é a função anterior. Um campo estacionário não depende do tempo. Assim, a função é reduzida a:

$$f(x, y, z)$$
A função f(x, y, z, t) refere-se a um campo escalar porque a grandeza é supostamente escalar (temperatura, por exemplo). Se a grandeza representada é vetorial, te-se então um campo vetorial e f é uma função vetorial, que segue a simbologia do vetor:

$$\vec f(x, y, z, t)$$
Os conceitos anteriores de campo estacionário e de campo variável são aplicáveis a campos vetoriais. Exemplo: campo elétrico estacionário $\vec E(x, y, z)$, onde $\vec E$ é o vetor campo elétrico.

Por retornar um vetor, a função vetorial pode ser dada pelos componentes. Exemplo para um campo bidimensional:

$$\vec F(x, y) = F_X \vec i + F_Y \vec j$$
Onde $\vec i$ e $\vec j$ são os vetores unitários nos eixos de coordenadas.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008