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Vetores III-A

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Tópicos: Transformação de Coordenadas | Rotação em Duas Dimensões | Rotação em Três Dimensões |


1) Transformação de Coordenadas

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Neste tópico foi visto que um vetor pode ser dado pela soma de componentes nos eixos de um sistema de coordenadas cartesianas, cada componente igual a um vetor unitário no respectivo eixo multiplicado pelo escalar correspondente à sua magnitude. Aqui são adotadas as convenções de índices 123 para os eixos XYZ e ê1 ê2 ê3 para os vetores unitários. Assim, para um vetor genérico,

$$\vec u = u_1 \hat e_1+u_2 \hat e_2+u_3 \hat e_3 \tag{1A}$$
Desde que cada componente é a projeção do vetor sobre o eixo, pode-se dizer que é igual a produto escalar do vetor por cada vetor unitário:

$$u_i = \vec u \cdot \hat e_i \tag{1B}$$
Na translação do sistema de coordenadas, os novos vetores unitários (ou vetores base) são iguais e paralelos aos anteriores. Assim, os produtos escalares não mudam e as coordenadas permanecem. Na rotação, há variações que podem ser relacionadas com ângulos, objeto dos próximos tópicos.

Um novo sistema de coordenadas é simbolizado por X'Y'Z' e til (~) é usado para vetores unitários nesse sistema. Assim,

$$\vec u = u_1 \hat e_1+u_2 \hat e_2+u_3 \hat e_3 = u'_1 \tilde e_1+u'_2 \tilde e_2+u'_3 \tilde e_3 \tag{1C}$$

2) Rotação em Duas Dimensões

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Considerando o exemplo da Figura 2-I, pode-se escrever os vetores unitários no sistema X'Y' em termos dos seus componentes no sistema XY, dados pela projeção (produto escalar) sobre os eixos conforme já mencionado:

$$\tilde e_1 = (\hat e_1\cdot\tilde e_1)\hat e_1+(\hat e_2\cdot\tilde e_1)\hat e_2\\\tilde e_2 = (\hat e_1\cdot\tilde e_2)\hat e_1+(\hat e_2\cdot\tilde e_2)\hat e_2 \tag{2A}$$
Em termos de produto de matrizes,

$$\begin{bmatrix}\tilde e_1\\\tilde e_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\hat e_1\cdot\tilde e_1&\hat e_2\cdot\tilde e_1\\\hat e_1\cdot\tilde e_2&\hat e_2\cdot\tilde e_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat e_1\\\hat e_2\end{bmatrix} \tag{2B}$$
Denominando Q a matriz dos produtos escalares (notação entre colchetes indica matriz),

$$[\tilde e] = [Q] [\hat e]\quad\therefore\quad \tilde e_i = \sum_j Q_{ij}\ \hat e_j \tag{2C}$$
Usando uma propriedade da transposição de matrizes,

$$[\tilde e]^T = [\hat e]^T[Q]^T \tag{2D}$$

Fig 2-I

Desprezando o terceiro eixo em (1C) e considerando matrizes 2×1 para os componentes do vetor em cada sistema,

$$[\hat e]^T [u] = [\tilde e]^T [u'] \tag{2E}$$
Combinando com (2D) e simplificando,

$$[u] = [Q]^T [u'] \tag{2F}$$
De forma análoga, pode-se deduzir para as coordenadas no sistema deslocado em função do inicial:

$$[u'] = [Q] [u] \tag{2G}$$
Os elementos da matrix Q, conforme (2B) podem ser dados em função do ângulo θ de giro do sistema:

Q11 = cos θ (projeção de um vetor unitário em X' sobre X)
Q12 = cos (90 − θ) = sin θ (projeção de um vetor unitário em X' sobre Y)
Q21 = cos (90 + θ) = −sin θ (projeção de um vetor unitário em Y' sobre X)
Q22 = cos θ (projeção de um vetor unitário em Y' sobre Y)

Portanto,

$$[Q] = \begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix} \tag{2H}$$
[Q] é denominada matriz de transformação ou matriz de rotação. Uma propriedade importante é o fato de ser ortogonal, isto é, a inversa é igual à transposta:

$$[Q]^{-1} = [Q]^T \tag{2G}$$

3) Rotação em Três Dimensões

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Para vetores no espaço, conforme exemplo da Figura 3-I, pode-se adaptar as formulações anteriores para 3 eixos.


Fig 3-I

A matriz de transformação (na operação com as matrizes os vetores unitários) é construída de forma similar à (2B):

$$\begin{bmatrix}\tilde e_1\\\tilde e_2\\\tilde e_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\hat e_1\cdot\tilde e_1&\hat e_2\cdot\tilde e_1&\hat e_3\cdot\tilde e_1\\\hat e_1\cdot\tilde e_2&\hat e_2\cdot\tilde e_2&\hat e_3\cdot\tilde e_2\\\hat e_1\cdot\tilde e_3&\hat e_2\cdot\tilde e_3&\hat e_3\cdot\tilde e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\hat e_1\\\hat e_2\\\hat e_3\end{bmatrix} \tag{3A}$$
Demais operações conforme tópico anterior, considerando matrizes para os três eixos, com exceção de (2H) porque há mais ângulos envolvidos.
Referências
Apostol, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
Bouché, Ch; Leitner, A; Sass, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Vygodsky, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Jun/2019