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Vetores III

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Tópicos: Produto Vetorial |


1) Produto vetorial

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Sejam, conforme Figura 1-I, dois vetores de magnitudes a e b, situados no mesmo plano. O produto vetorial deles, simbolizado por $\vec a \times \vec b$, é um vetor perpendicular a esse plano, de direção dada pela regra da mão direita conforme figura e de magnitude igual à àrea do paralelogramo formado pelos vetores originais:

$$\Vert \vec a \times \vec b \Vert = \Vert \vec a \Vert \Vert \ \vec b \Vert \sin \alpha \tag{1A}$$
Produto Vetorial
Fig 1-I

Da definição conclui-se que a inversão da ordem dos fatores inverte o sinal do resultado, ou seja, não há propriedade comutativa:

$$\vec b \times \vec a = - (\vec a \times \vec b) \tag{1B}$$

Algumas propriedades do produto vetorial:

$$\vec a \times \vec a = 0\\ (\vec a + \vec b) \times \vec c = (\vec a \times \vec c) + (\vec b \times \vec c)\\ (m\vec a) \times \vec b = m (\vec a \times \vec b)\\ (m\vec a) \times (n\vec b) = mn (\vec a \times \vec b) \tag{1C}$$

Produto vetorial em função de coordenadas:

Sejam os vetores dados por suas coordenadas (Xa, Ya, Za) e (Xb, Yb, Zb). Conforme já visto, eles podem ser representados em forma de matrizes:

$$\vec a = \begin{bmatrix}X_a\\Y_a\\Z_a\end{bmatrix} \ \ \vec b = \begin{bmatrix}X_b\\Y_b\\Z_b\end{bmatrix} \tag{1D}$$
O produto vetorial pode ser calculado pelo determinante da matriz abaixo, onde os elementos da primeira linha são os vetores unitários do sistema de coordenadas.

$$\vec a \times \vec b = \det \begin{bmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\X_a&Y_a&Z_a\\ X_b&Y_b&Z_b \end{bmatrix} \tag{1E}$$
O resultado desse determinante será uma soma dos vetores unitários, multiplicados por números que indicam as coordenadas do produto vetorial. Ele pode ser também calculado com o uso do seguinte produto de matrizes.

$$\vec a \times \vec b = \begin{bmatrix}0&-Z_a&Y_a\\Z_a&0&-X_a\\ -Y_a&X_a&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}X_b\\Y_b\\Z_b\end{bmatrix} \tag{1F}$$
Essa operação é o produto de um matriz 3×3 por uma 3×1, resultando em uma matriz 3×1 com as coordenadas do produto vetorial.


Exemplo físico do produto vetorial (momento mecânico):

Exemplo Físico de Produto Vetorial
Fig 1-II

Seja, conforme figura acima, uma força cuja distância até determinado ponto O é dada pelo respectivo vetor de deslocamento. O produto vetorial desses dois vetores indica o momento da força em relação ao ponto O.

Segundo leis da mecânica clássica, um corpo está em equilíbrio estático se a soma das forças e a soma dos momentos atuantes são nulas. Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano, basta considerar os produtos das magnitudes das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Caso contrário, a condição de equilíbrio só pode ser verificada com os momentos vetoriais.
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008