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Vetores II

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Tópicos: Produto escalar |


1) Produto Escalar

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O produto escalar de dois vetores é dado pelo produto das suas magnitudes multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. De forma gráfica, conforme figura a seguir, equivale à projeção de um vetor sobre o outro multiplicada pelo comprimento deste último:

$$\vec a \cdot \vec b = a\ b \cos \alpha \tag{1A}$$
Produto Escalar de dois Vetores
Fig 1-I

Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si, o seu produto escalar é nulo porque cos 90 = 0.


Algumas propriedades do produto escalar:

$$\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\\ (\vec a + \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec c\\ (m \vec a) \cdot \vec b = m (\vec a \cdot \vec b)\\ (m \vec a) \cdot (n \vec b) = mn (\vec a \cdot \vec b) \tag{1B}$$
No caso particular do produto escalar de vetores idênticos,

$$\vec a \cdot \vec a = \Vert a \Vert^2 \tag{1C}$$

Em termos de coordenadas, sejam os vetores (Xa, Ya, Za) e (Xb, Yb, Zb). O produto escalar é dado por:

$$\vec a \cdot \vec b = X_a X_b + Y_a Y_b + Z_a Z_b \tag{1D}$$

Vetores podem ser representados em forma de matrizes de coluna. Os vetores a seguir são dados por matrizes 3×1 que contêm suas coordenadas.

$$\vec a = \begin{bmatrix}X_a\\Y_a\\Z_a\end{bmatrix} \ \ \vec b = \begin{bmatrix}X_b\\Y_b\\Z_b\end{bmatrix} \tag{1E}$$
Matriz transposta de outra matriz é a matriz formada pela troca de linhas com colunas. Portanto,

$$\vec a^T = \begin{bmatrix}X_a& Y_a&Z_a\end{bmatrix} \tag{1F}$$
Considerando a regra da multiplicação de matrizes, pode-se ter o produto escalar em termos de produto de matrizes:

$$\vec a \cdot \vec b = \vec a^T \vec b = [X_a X_b + Y_a Y_b + Z_a Z_b] \tag{1G}$$

Das fórmulas já vistas, pode-se isolar o ângulo entre dois vetores:

$$\cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\Vert \vec a \Vert \Vert \vec b \Vert} \tag{1H}$$
Condição de perpendicularidade: se dois vetores são perpendiculares entre si, o seu produto escalar é nulo. Se o produto escalar de dois vetores é nulo, eles são perpendiculares entre si.


Exemplo de aplicação física do produto escalar
Significado Físico do Produto Escalar
Fig 1-II

No esquema da figura acima, se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força constante, então o produto escalar dessa força pelo vetor do deslocamento é o trabalho executado pela força.


Produto escalar e soma de vetores: a figura a seguir dá a representação gráfica da soma de dois vetores a e b.

Produto Escalar e Soma de Vetores
Fig 1-III

As igualdades abaixo podem ser constatadas:

$$OC^2 = OB^2 + BC^2\\ OC = c\\ OB = OA + AB = a + b \cos \phi\\ BC = b \sin \phi$$
Substituindo e simplificando,

$$c^2 = a^2 + b^2 + 2 a b \cos \phi$$
O último termo é o produto escalar dos dois vetores. Portanto, a magnitude da soma é dada por:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2\ \vec a \cdot \vec b} \tag{1I}$$

Produto escalar e subtração de vetores: a igualdade $\vec c = \vec a - \vec b$ equivale a $\vec c = \vec a + (-\vec b)$

Produto Escalar e Subtração de Vetores
Fig 1-IV

A dedução do resultado pode ser feita, com auxílio da figura acima, de modo similar ao anterior. Ou, de forma mais direta, substituindo o valor de b em (1I), considerando as propriedades já vistas do produto escalar:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2\ \vec a \cdot \vec b} \tag{1J}$$
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008