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Vetores I

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Tópicos: Introdução | Notação | Igualdade e Oposição | Multiplicação por um Escalar | Soma e Subtração de Vetores | Coordenadas de um Vetor |


1) Introdução

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De forma prática, o conceito de vetor pode ser explicado com uso da representação matemática de grandezas físicas.

Grandeza escalar e grandeza vetorial
Fig 1-I

Grandezas como temperatura, pressão, massa, potência e outras podem ser completamente definidas por um único valor numérico. Elas são denominadas escalares porque, na forma gráfica, podem visualizadas como um ponto em uma escala conforme (a) da Figura 1-I. Outras grandezas (como velocidade, força, etc) precisam, além do valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São denominadas grandezas vetoriais. Portanto, um vetor define a grandeza através do seu comprimento e do ângulo que faz com uma referência, conforme (b) da figura.


2) Notação

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Nesta página e em outras deste site, vetores podem ser simbolizados por caractere alfabético em negrito (ex: vetor a) ou caractere normal com seta acima (ex: vetor $\vec a$). Em alguns casos, vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades (ex: vetor MN da Figura 1-I do tópico anterior).

O comprimento de um vetor, também denominado magnitude, é designado pelo caractere simples: $v = \Vert \vec v \Vert$ (também usada barra vertical simples $v = \vert\vec v\vert$). No vetor MN da Figura 1-I, equivale ao comprimento ℓ.

Graficamente, os vetores são em geral representados por um segmento de reta com seta conforme Figura 1-I do tópico anterior.


3) Igualdade e Oposição

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Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos comprimentos e direções. Assim, eles estão em segmentos de reta paralelos, podendo ser coincidentes ou não. Na Figura 3-I, $\vec a = \vec b$.

Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo: $\vec c = - \vec d$.
Igualdade e oposição de vetores
Fig 3-I

Em alguns fenômenos físicos, o conceito de igualdade e oposição precisa ser complementado com a indicação do ponto de origem.

Exemplo: sejam os vetores opostos $\vec c$ e $\vec d$ as forças atuantes em um determinado corpo. Se estão no mesmo alinhamento, o corpo está em equilíbrio. Se estão deslocados conforme figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre eles.

Na Figura 3-I, os vetores têm o mesmo comprimento, isto é, $\Vert \vec a \Vert = \Vert \vec b \Vert = \Vert \vec c \Vert = \Vert \vec d \Vert$.

A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Exemplo: $\vec b \neq \vec c$ na mesma figura.


4) Multiplicação por um Escalar

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A multiplicação ou divisão por um escalar resulta num vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original ou com ele coincidente. Exemplos na figura a seguir.

Multiplicação de vetores por um escalar
Fig 4-I

Vetor unitário de um determinado vetor é aquele na mesma direção e de comprimento igual a um. Em geral, representado por um caractere minúsculo com acento circunflexo:

$$\hat{a} = \frac{\vec a}{\Vert \vec a \Vert} \tag{4A}$$
Também usada a notação normal com a letra $\vec u$ para vetor unitário em geral ou as letras $\vec i$, $\vec j$ e $\vec k$, quando representam os eixos de um sistema de coordenadas cartesianas.


5) Soma e Subtração de Vetores

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Para somar graficamente dois vetores, conforme Figura 5-I, move-se a origem de um até coincidir com o final do outro. A origem e o final restantes definem o vetor representativo da soma vetorial, de acordo com a mesma figura.

Soma Gráfica de Vetores
Fig 5-I

O comprimento da soma não é necessariamente igual à soma dos comprimentos. Se a igualdade ocorre, os vetores são paralelos.

Para a subtração, consideram-se na Figura 5-II os mesmos vetores da figura anterior. Conforme parte esquerda, faz-se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da diferença.

Subtração Gráfica de Vetores
Fig 5-II

Alternativamente, pode ser obtida segundo parte direita da figura, isto é, a soma com o oposto:

$$\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)$$
De forma similar à adição, o comprimento da diferença não é necessariamente igual à diferença dos comprimentos. Se a igualdade ocorre, os vetores são paralelos.

Soma de Vetores pelas Regras do Paralelogramo e do Paralelepípedo
Fig 5-III

Um outro método para a determinação gráfica da soma é a regra do paralelogramo, indicada na parte esquerda da Figura 5-III: juntam-se as origens e a diagonal do paralelogramo formado é a soma dos vetores. Para vetores no espaço, pode-se usar a similar regra do paralelepípedo, conforme parte direita da mesma figura.

Algumas propriedades da soma e da multiplicação por escalar:

$$\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\\ (m+n)\vec a = m\vec a + n\vec a\\ m(n\vec a) = (mn)\vec a\\ \vec a + (\vec b + \vec c) = (\vec a + \vec b) + \vec c\\ m(\vec a + \vec b) = m\vec a + m\vec b$$

6) Coordenadas de um Vetor

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Considerando as regras da soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode-se concluir que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo. Portanto, na figura a seguir, o vetor $\vec A$ é dado pela soma dos seus componentes no sistema de coordenadas:

$$\vec A = \vec A_x + \vec A_y \tag{6A}$$
Componentes de um Vetor no Plano
Fig 6-I

Sejam agora $\vec i$ e $\vec j$ os vetores unitários nos eixos x e y respectivamente. Então,

$$\vec A = A_x\ \vec i + A_y\ \vec j \tag{6B}$$
Os escalares Ax e Ay são as coordenadas do vetor no sistema.

Componentes de um Vetor no Espaço
Fig 6-II

No caso de um vetor no espaço conforme acima, acrescenta-se uma coordenada e respectivo vetor unitário:

$$\vec A = A_x\ \vec i + A_y\ \vec j + A_z\ \vec k \tag{6C}$$
Para simplificar a notação, muitas vezes é adotada a indicação simples das coordenadas X, Y e Z entre parênteses:

$$\vec a = (X_a, Y_a, Z_a) \tag{6D}$$
Exemplos: $\vec a = (2, 3, 0)$, $\vec b = (-1, 12, 8)$, etc.

O comprimento do vetor pode ser dado por suas coordenadas:

$$\Vert \vec a \Vert = \sqrt{X_a^2+Y_a^2+Z_a^2} \tag{6E}$$
Se os vetores $\vec a$ e $\vec b$ são paralelos, as suas coordenadas são proporcionais. Para um vetor no espaço,

$$\frac{X_b}{X_a} = \frac{Y_b}{Y_a} = \frac{Z_b}{Z_a} = c \tag{6F}$$
Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo, eles têm a mesma direção. Se negativo, eles são opostos.

As coordenadas da soma de vetores são dadas pelas somas das coordenadas de cada. Assim, se $\vec c = \vec a + \vec b$, tem-se:

$$X_c = X_a + X_b\\ Y_c = Y_a + Y_b\\ Z_c = Z_a + Z_b \tag{6G}$$
Na multiplicação ou divisão por um escalar, as coordenadas do resultado seguem a operação. Assim, se $\vec c = m \vec a$,

$$X_c = m\ X_a\\ Y_c = m\ Y_a\\ Z_c = m\ Z_a \tag{6H}$$
Referências
APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.
VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.

Topo | Rev: Mar/2008