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Princípio do Trabalho Virtual

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Tópicos: Introdução | Exemplo 1 | Exemplo 2 | Corpo Rígido |


1) Introdução

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Método clássico para solução de casos relativos a equilíbrio de corpos rígidos é o uso das equações básicas de forca (F) e momento (M):

$$\sum \vec F =0\\ \sum \vec M = 0 \tag{1A}$$
O método do trabalho virtual é uma alternativa que pode simplificar os cálculos. Aqui são consideradas forças coplanares, mas pode ser estendido para forças no espaço.

No exemplo da Figura 1-I, um corpo está sob ação de forças (3, mas pode ser qualquer número), que, de forma genérica, produziriam um deslocamento $\delta \vec r$.

Seja a relação de equilíbrio de força de (1A) dada em termos de magnitudes dos componentes nos eixos de coordenadas:

$$\sum F_X =0\\ \sum F_Y =0 \tag{1B}$$
Multiplicando cada relação pelo respectivo componente do vetor deslocamento,

Princípio do trabalho virtual
Fig 1-I

$$\delta r_X \sum F_X = \sum \delta r_X F_X = 0\\ \delta r_Y \sum F_Y = \sum \delta r_Y F_Y = 0 \tag{1C}$$
Essas igualdades correspondem à soma dos produtos escalares das forças pelos deslocamentos:

$$\sum \vec F \cdot \delta \vec r = 0 \tag{1D}$$
Produto escalar de força e deslocamento corresponde à grandeza física trabalho. Portanto, na condição de equilíbrio, pode-se dizer que cada $\delta \vec r$ é um deslocamento virtual e que cada parcela dessa soma é um trabalho virtual. E a igualdade (1D) pode ser resumida na forma: Na condição de equilíbrio estático, é nula a soma dos trabalhos virtuais de cada força atuante.


2) Exemplo

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Em (a) da figura, um sistema de barras articuladas é usado para comprimir um bloco. Deseja-se saber a força de compressão em função da força F, do ângulo φ e do comprimento L.
Exemplo de trabalho virtual
Fig 2-I

A força de compressão é a reação horizontal Cx em C. Em (b) da figura consideram-se um sistema de coordenadas com origem em A e um deslocamento virtual vertical δyB de B, além do correspondente deslocamento virtual horizontal δxC de C. Por relações trigonométricas, obtém-se as coordenadas:

$$y_B = L \cos \varphi\\x_C = 2 L \sin \varphi \tag{2A}$$
Calculam-se as diferenciais para obter os deslocamentos virtuais:

$$\delta y_B = - L \sin \varphi\ \delta\varphi\\ \delta x_C = 2 L \cos \varphi\ \delta\varphi \tag{2B}$$
Aplicando a relação (1D),

$$F \delta y_B + C_X \delta x_C = 0 \tag{2C}$$
As demais forças (Ax, Ay e Cy) não executam trabalho porque os deslocamentos são nulos ou perpendiculares. Substituindo os valores de (2B) e simplificando, chega-se ao resultado:

$$C_X = \tfrac{1}{2} F \tan \varphi \tag{2D}$$

3) Exemplo

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No sistema de cabos e roldanas da Figura 3-I (a), deseja-se saber a relação entre a força F e a carga W.

Exemplo de aplicação do princípio do trabalho virtual
Fig 3-I

No método clássico (soma das forças igual a zero), seria necessário igualar sucessivamente as forças em cada roldana. Mas a geometria do caso permite concluir que um deslocamento δy1 (de F) é igual a − 4 δy2 (de W). Aplicando (1D),

$$F \delta y_1 + W \delta y_2 = F (-4 \delta y_2) + W \delta y_2 = 0 \tag{3A}$$

Portanto,

$$F = \frac{W}{4} \tag{3B}$$

4) Corpo Rígido

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Seja, conforme Figura 4-I, um corpo rígido que é deformado pela aplicação de um carregamento genérico. O corpo deve ter algum apoio, denominado restrição, para a deformação ocorrer.

Corpo rígido e trabalho virtual
Fig 4-I

O carregamento provoca um deslocamento u, que depende das coordenadas, isto é, u(x,y z). Da conservação da energia, o trabalho do carregamento (forças externas) deve ser igual à energia de deformação das tensões internas.

É possível demonstrar que o princípio do trabalho virtual continua válido para um deslocamento virtual δu com as mesmas restrições do corpo original, ou seja, o trabalho virtual externo é igual à energia interna virtual de deformação. A demonstração matemática aqui não é dada. É comum uma formulação como a seguinte (onde u e U são deslocamentos):

$$\int f\ \delta u\ dV + \sum F\ \delta U = \int \sigma\ \delta \epsilon\ dV \tag{4A}$$

Os termos do lado esquerdo se referem a cargas distribuídas e concentradas respectivamente e o termo do lado direito é a energia virtual de deformação.
Referências
BEER, P. Ferdinand. JOHNSTON, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
BOUCHÉ, Ch. LEITNER, A. SANS, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
GIEK, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jan/2018